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1、赛题分析与竞赛培训,C题 企业退休职工养老金制度的改革,【研究对象】养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。【养老金实施方法】【缴费】我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。,【发放】养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家
2、的经济和工资增长率都较低。（有何含义？）我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平.（有何影响？）,【发放标准计算方法】【影响因素】：在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素；【发放方式】：退休后每个月的养老金从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金）。【注意事项】1 养老金会随着社会平均工资的调整而调整。2 如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。3 个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利
3、率统一设定为3%。,【养老金管理现状】现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。,附件一：山东省职工历年平均工资统计表,附件2：200
4、9年山东省某企业各年龄段工资分布表,附件三：养老金的计算办法,参加市城镇企业职工基本养老保险社会统筹的人员，达到国家规定的退休年龄，实际缴费年限满15年以上的，按月计发基本养老金。养老金计算方法：职工退休时的养老金由两部分组成：养老金=基础养老金+个人账户养老金 个人账户养老金=个人账户储存额计发月数（数据见表一）基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）2缴费年限1%本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数,表一：个人账户养老金计发月数表,本人指数化月平均缴费工资(Average Indexed Monthly Earnings)”指
5、标的计算公式为,Xi-退休前第i年的本人缴费工资额Ci-退休前第i年的社会平均工资额n为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计（可以简单认为等于12m，m为实际缴纳基本养老保险费的年限）。,称为退休前第 i 年的缴费指数，i=1,m.,建模问题：,问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60
6、岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。,问题分析,研究对象：养老金的收支平衡问题影响因素：1 缴费：“社会统筹”+“个人账户”社会统筹=职工工资总额按一定比例缴纳（20%）个人账户=职工个人工资按一定比例缴纳（8%）,养老金的发放
7、（1）依赖于缴费年限与缴费额度；（2）缴费额度依赖于职工在职时的工资及社会平均工资；（3）职工工资并不是一成不变的，工资的增长又与经济增长相关。（4）职工工资的增长又带来企业社会平均工资的增长。,问题一:分析、假设与建模,要求对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资 由题意知道：近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平.,因此针对问题一的合理假设：1 假设经济形势发展平稳，在今后较
8、长一段时间内不会发生影响工资正常发展的动荡 2 象许多发达国家一样，随着国家渡过经济快速发展期，工资增长率会逐步降低，最终趋于稳定或保持一个较低的增长率。数据建模观察：由附件一，可作出山东历年职工平均工资变化曲线，如图,图1 山东历年职工工资变化趋势图,建模启示：logistic模型模型形式：模型求解：问题难点：参数和初始年限确定预测：利用识别的参数和解析解表达式，预测2011-2035年山东职工平均工资,养老保险问题逻辑斯谛曲线拟合 t=0:1:32y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601314
9、9 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074 fun1=(c,t)c(1)./(1+(c(1)/c(2)-1)*exp(-c(3)*t);syms N solve(29688=N/(1+(N/26404-1)*exp(-0.12),N)ans=c=lsqcurvefit(fun1,120000,600,0.2,t,y),c=lsqcurvefit(fun1,120000,600,0.2,t,y)Maximum number of function
10、evaluations exceeded;increase options.MaxFunEvalsc=1.0e+005*,ti=0:1:57;yi=c(1)./(1+(c(1)/c(2)-1)*exp(-c(3)*ti)polyval(ti,yi)得到1978-2035的预测数据plot(t,y,ro,ti,yi,c),计算均方差 Q=sqrt(sum(y-c(1)./(1+(c(1)/c(2)-1)*exp(-c(3)*t).2)Q=2.608763181706902e+003,二次拟合 p=polyfit(t,y,2)Q1=sqrt(sum(y-polyval(p,t).2)yi=poly
11、val(p,ti);plot(t,y,bo,ti,yi,r),三次拟合 p3=polyfit(t,y,3)Q3=sqrt(sum(y-polyval(p3,t).2)Q3=3.226225168596392e+003yi=polyval(p3,ti);plot(t,y,bo,ti,yi,r),问题二：分析、假设与建模,问题二建模要求：1 根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。2 如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率,问题二:基本
12、假设,假设附件2 中反映的该企业不同年龄的职工工资与企业平均工资的比例与社会上不同年龄职工的工资与社会平均工资的比例相同。假设男女同工同酬。假设现有缴费及发放制度在一个充分长的时间段内没有变化。假设附件1中的社会平均工资为缴费后（或缴费）工资。为便于计算，假设工作、退休、死亡均是指在刚满周岁时，缴费年数为整数。假设社会统筹基金账户中的储存额不产生利息。假设今后我国银行的一年期利率一直为3%。,2.1计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比-不同年龄段的缴费指数的确定,问题分析：附件二给定数据为不同年龄段在不同工资范围的人数。由于所给数据以5岁为一段，故此处也以5岁为一段建模启示
13、：利用加权平均的方法数学模型：各年龄段职工平均工资=该段在不同工资范围的人数*工资平均值的总和/该段职工总数 企业平均工资=各年龄段职工平均工资*该段职工总数的总和/职工总数,附件2：2009年山东省某企业各年龄段工资分布表,计算结果,计算方法可直接在excel表格中进行。,该计算结果给出了一个不同年龄段缴费指数（比例）的计算结果,存在问题：60-64岁退休人员的缴费指数无法估算：解决办法：利用上述取得的结果，采取二次多项式拟合，然后趋势外推；最粗的估计方法：采用55-59岁的缴费指数,通过上表，可以作出各年龄段（20-24记作1,25-29记作2，以此类推）缴费指数对年龄段的散点图。发现存在
14、二次函数关系，设该函数表达式为,通过二次拟合得到,将t=9代入，得到60-64岁的缴费指数为1.1002,2.2 养老金替代率的计算：如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。,计算方法：按照题目附件三计算存在问题：1.个人账户养老金计算需要考虑利息（复利，年）2 应用问题一的预测方法，预测2011年后的平均缴费工资，3 利用前述不同年龄段的比例值作为不同年龄段在预测年份的缴费指数应采用预测结果，,养老金替代率的计算 个人账户养老金的计算：个人账户养老金为个人账
15、户储蓄额本息与计发月数的比值 基础养老金的计算：缴费指数的确定：利用前述计算的各年龄段平均工资与企业总平均工资的比值作为各年龄段的缴费指数。,退休时基础养老金的计算 基础养老金FU=(全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资)2缴费年限1%,替代率计算 替代率为职工刚退休时的养老金（个人+基础）与退休前一年的工资之比,问题三-分析、假设与建模,养老金收支平衡问题或缺口预测：按养老金定义，包含社会统筹和个人账户，因此收支平衡应包括二者之和，单一考虑个人账户不妥！退休后，直至死亡（75岁），由于养老金是按月领取，个人账户余额仍在产生利息，计算时应该考虑养老金的发放不是按标准一成不变的
16、，会随社会平均工资的调整而调整。,问题四-措施,主要措施：1 推迟退休年龄 2 尽早开始缴纳 3 改善缴费费率 4 增收，如投资等,论文中发现的问题,题意理解不够：本题内容繁多，不细心理解，易出现思维混乱，或无从下手的现象工资增长有一定规律性，仅根据数据建模方法（如插值、拟合、灰色预测等）不能很好地解决问题。模型建立中应考虑全面，符合实际，如利率考虑，货币贬值问题考虑等全文无数学公式，无假设建模过程，通篇为算数，这不是建模。,论文写作方面：规范性不够文献查阅：不太复杂，但注意引用问题问题四应根据前面的建模过程和结果论文，不是拍脑袋，想当然!本题需要有一点经济学的常识或知识。这可能是本题完成不太
17、圆满的原因。养老金的缴纳与领取可按年度计算，也可按月份计算，两种方式取决于假设。但二者计算公式有差异，建模计算时应保持清醒的头脑。,二、数学建模与数学,数学建模的地位 识文解字-文化素养 算数-数学素养-二者构成人类的基本素养 数学是所有科学的基础与核心，数学方法与计算机技术的有效结合构成了现代数学技术，数学技术的成功运用已成为几乎所有科学与工程技术的关键技术甚至为核心技术。数学融入各学科已成为大势所趋 数学实验或计算机运用是利用数学建模解决实际问题的助推器。,二、数学建模与数学,为什么要学习数学建模？有助于理解数学有助于推动创新型、交叉型、研究应用型人才的培养有助于补充与完善现有大学数学教学
18、体系有助于引导数学实验能力与自主学习能力如何学习数学建模：必要的培训，自主研学、训练“等奶吃的孩子长不大，找奶吃的孩子长得壮”养成好的学习习惯，有助于培养创新型人才的脱颖而出：批判式、主动式。,三、竞赛前期准备,1、选修或自学数学建模课+暑期建模培训2、熟练掌握常用数学软件的基本用法（Matlab,Lingo,Spss/Splus,Excel）3、了解竞赛规则:竞赛章程，论文写作规范。4、尽量多地模拟近十年数学建模竞赛题，以了解所涉及的建模方法，竞赛技巧等。5、成功组队是竞赛成功的基础，队员在知识、技能方面尽可能全面。6、既要分工，又要合作。,四、竞赛期间注意事项,计算机软件安装、网络调试等应
19、在竞赛前 准备完毕;拿到题目后,应独立进行思考,然后三个队友 交换意见,达成共识后确定参赛题目.文献查阅要适度;竞赛论文应尽早开始组织编写,以免因时间 限制,造成遗憾;所有程序、计算结果、所编写的论文应注 意随时做好备份,以免丢失;,四、参加竞赛注意事项,组队：成功组队是参赛获奖的重要因素，知识、能力要相对全面，每个人既要独当一面，又要互为补充。题意理解：正确理解题意是建模的关键 1 细心-注意把握关键词，不放过可能引导建模方向与问题目的的一切词汇。2 确定目标要求-细化与目标相关的有关因素，分析各因素之间的关联关系，建立相关模型 3 分清建模的基本要求、难点或关键点 难点和关键点的解决-创新
20、亮点,四、竞赛期间注意事项,建模方向把握：数学结构-建模思路的顺畅展开 不断选择、不断论证、不断完善 关键点的逐步清晰化 建模是现实与理想之间的平衡，简单与复杂之间的博弈,四、竞赛期间注意事项,竞赛节奏把握：注重轻重缓急，分清主次，逐次进行 先宏观、再微观：先主体，后细节注重效率：确立分时段的进展目标，合理分工 提倡讨论，提高讨论的有效率，避免无意义争论，导致前功尽弃；,四、竞赛期间注意事项,端正态度正确对待，平和心态，锻炼为主追求卓越,锲而不舍冷静思考，关注细节亮点与创新点亮点可体现在建模各个环节中好的idea是产生亮点的基础从实际出发是亮点的源泉,五、CUMCM论文评阅,评阅标准：假设的合
21、理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性合理性：关键假设-不欣赏罗列大量无关紧要的假设;要对假设的合理性进行解释或论证，假设是建模的基础，正文中要引用创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理,五、CUMCM论文评阅,正确性：不强调与“参考答案”的一致性和结果的精度；好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的清晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领 表达严谨、简捷，思路清新 格式符合规范，严禁暴露身份,五、竞赛论文评阅,评阅方法：初评：随机、回避、多人、打分、差异修正 答辩：形式-视频或面试 专家组（2-3人），同时打分 目的：论文质量、答辩水平、有无抄袭或指导教师参与的明显痕迹；最终成绩
22、：初评成绩与答辩成绩加权求和 获奖与答辩比例的确定：,-从论文评阅看学生参加竞赛中的问题,吃透题意方面不足，没有抓住和解决主要问题；就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺；对所用方法一知半解，不管具体条件，套用现成的方法，导致错误；对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周；写作方面的问题(摘要、简明、优缺点、参考文献);参考文献不全，或引用他人结果不作交代;参考文献应在正文中引用 队员之间合作精神差，孤军奋战；依赖心理重，甚至违纪（指导教师、网络）,五、CUMCM论文评阅,六、竞赛论文写作,竞赛论文写作格式要求 format2010.doc论文写作注意事项 摘要写作：独占一页；包含关键字。内容：
23、应叙述对问题做了哪些分析，基本假设，采用了何种建模方法，给出模型及主要符号含义，对模型采用了什么样的方法或软件求解，给出主要结果或结论，同时对模型或结果做了何种假设检验，结果如何？等等。,六、竞赛论文写作,竞赛论文正文写作格式 题目（三号、黑体、居中）第一页 摘要（四号、黑体、居中）摘要内容.关键字 第二页（正文）问题重述与分析 基本假设，主要符号与记号 模型建立与求解（问题一、问题二）结果分析与假设检验 结论与建议 参考文献 附录一、二,六、竞赛论文写作,竞赛论文写作注意事项 1 软件：MS-WORD2003 2 公式、符号输入：Equation Editor(尽量不要用外挂Mathtype
24、,以免影响评阅)3 图、表要加图号、表号，如表1，图1等，避免“上图、下图、上表”.尽量避免屏幕截图，图表标题一般用五号字 制图应避免使用浅色线条，以免影响打印效果，多条曲线时应加“标记”如“*，+”等,六、竞赛论文写作,4 网络数据应注明来源，并在参考文献中列出网址、作者等，以增加可信性 5 尽量符合规定格式要求，以免影响成绩 6 若用Ctex编辑，论文中不得出现签名、编号页，以免违规。,备注：,案例分析参考了C题命题人-许振宇副教授的参考答案与部分获奖论文竞赛通知与论文评阅、答辩等见省组委会网址 http:/山大数学建模教学课件与部分视频 http:/,谢谢在座的各位老师和同学预祝今年竞赛取得更好的成绩,
