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1、函数的奇偶性,甘肃省文县第一中学 张永明,一、现实生活中的“美”的事例,下面请欣赏,曹家大院某院,晋祠鼓楼,晋祠硕亭,太谷民居门墩石狮子,二、函数图象的“美”,f(x)=x2,f(x)=|x|,问题：1、对定义域中的每一个x，-x是否也在其定义域内？2、f(x)与f(-x)的值有什么关系？3、图象对称性如何？,函数y=f(x)的图象关于y轴对称,1、对定义域中的每一 个x，-x是也在其定义 域内；2、都有f(-x)=f(x),三、偶函数的定义,函数f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有 f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数。,偶函数定义的理解,观察下面两个函数图象及数量关
2、系,-3,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,f(x)=x,3,2,1,0,-1,-2,-3,-1,x,-3,-2,0,1,2,3,f(-3)=-3=,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,f(-x)-f(x),f(x)=x,f(-1)=-1,f(-2)=-2=,x,-x,表（3）,-f(1),=,-f(2),-f(3),=,f(x)=x,0,x,y,1,2,3,-1,-2,-1,1,2,3,-2,-3,f(-3)=-f(3),f(-1)=-1=-f(1),f(-2)=-
3、f(2),f(-x)=-f(x),1,3,2,1,0,-2,-3,x,-1,-1,表（4）,函数y=f(x)的图象关于原点对称,1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内；2、都有f(-x)=-f(x),四、奇函数的定义,函数f(x)的定义域为A，如果对任意一个xA，都有 f(-x)=-f(x)，那么称函数f(x)是奇函数。,几点说明：1、偶（奇）函数的实质就是自变量x变为相反数-x时，函数值不变（也变为相反数）。根据函数的奇偶性，函数可划分为四类（偶函数、奇函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数）,非奇非偶函数,如：,y=3x+1,y=x2+2x,既是奇函数又是偶函数的函数,如：,y=0,2
4、、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)成立.,是偶函数吗？,问题：,0,x,1,2,3,-1,-2,-3,1,2,3,4,5,6,y,不是。,3、奇、偶函数图象及性质：性质：偶函数的定义域关于原点对称,解：,由定义可知，如果一个函数是偶函数,则它的图象关于y轴对称。,y=x2,偶函数的图像特征,反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数。,y=x2,例：,性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。,偶函数图象及其性质：定义域关于原点对称；图象关于y轴对称；偶函数在关于原点对称的区间上单
5、调性相反。,你能类比说出奇函数的图象及其性质吗？,y,奇函数图象及其性质：定义域关于原点对称；图象关于原点对称；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。,判定函数奇偶性基本方法:定义法:先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.图象法:看图象是否关于原点或y轴对称.,如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,五、应用:例1 判断下列函数的奇偶性（你能口答吗？）1.y=-x2+3,xR;2.f(x)=-xx;3.y=-2x+5;4.f(x)=x2,x-2,-1,0,1,3;5.y=0,x-2,2;,是偶函数,是奇函数,不是奇函数也不是偶函数,非
6、奇非偶函数,非奇非偶函数,亦奇亦偶函数,既是奇函数也是偶函数,小组合作探究：已知y=f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2+x+1，求函数的表达式。,练习：判断下列函数的奇偶性,(1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数,(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数,(3)解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数,(4)解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数,六、课时小结，知识建构,判断或证明函数奇偶性的基本步骤：一看二找三判断。注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称。,七、布置作业，回归拓展层次一：教材第39页，习题 1-3A组，第6题；层次二：教材第39页，习题 1-3B组，第3题；次三层：补充题 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x+1，求f(x)的解析式.,
