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1、函数奇偶性,函数 y=f(x)在定义域 A 内任取一个 x A，且 x A,1)都有 f(x)=f(x),2)都有 f(x)=f(x),3)都有 f(x)f(x)且 f(x)f(x),则 f(x)是偶函数,则 f(x)是非奇非偶函数,则 f(x)是奇函数,问题：1）奇偶性在什么范围内考虑的？,2）在定义域 A 内任取一个 x,则 x 一定在定义域 A 内吗？,注意：1）奇偶性在整个定义域内考虑；,2）定义域若不是关于原点对称的区间，则 f(x)是非奇非偶函数；,3）考虑函数奇偶性必需先求出定义域。,例1、判断下列函数是否有奇偶性：1）f(x)=6x 6+3x 2+1 2）f(x)=x 3+x
2、5,解：此函数的定义域为 R,f(x)=6(x)6+3(x)2+1,=6 x 6+3 x 2+1,=f(x),f(x)是偶函数,解：此函数的定义域为 R,f(x)=(x)3+(x)5,=x 3 x 5,=(x 3+x 5),=f(x),f(x)是奇函数,3）f(x)=x 2+2x+4 4）f(x)=,解：此函数的定义域为 R,f(x)=(x)2+2(x)+4,=x 2 2x+4,f(x)是非奇非偶函数,解：此函数的定义域为 2,+),f(x)是非奇非偶函数,例2：判断函数 f(x)=的奇偶性,解：由题,函数的定义域为 1,0)(0,1,此时 f(x)=,=f(x),故 f(x)是奇函数,判定函
3、数的奇偶性的步骤：1）先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数若定义域是关于原点对称的区间，进入第二步；2）计算 f(x)化向 f(x)的解析式；若等于 f(x)，则函数是偶函数若等于 f(x)，则函数是奇函数若不等于，则函数是非奇非偶函数3）结论。,奇偶函数的图象,想一想,观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？,奇函数,关于原点成中心对称,关于 y 轴成轴对称,偶函数,非奇非偶函数,简称关于原点对称,简称关于 y 轴对称,不关于原点及 y 轴对称,定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；反之，如果一个函数的图象关于原点（y 轴）对称，那
4、么这个函数是奇（偶）函数。,此定理的作用：简化函数图象的画法。,1）若函数是奇函数,2）若函数是偶函数,例4、作出函数 y=x 2|x|6 的图象,解：当 x 0 时，y=x 2 x 6,当 x 0 时，y=x 2+x 6,若利用对称法作图：,先作出 x 0 的图象,再用对称法作出另一半的图象；,可知 函数是偶函数,例5、已知 f(x)是奇函数，当 x 0 时，f(x)=x 2 2x，求当 x 0 时，f(x)的解析式，并画出此函数 f(x)的图象。,解：f(x)是奇函数,f(x)=f(x),即 f(x)=f(x),任意取x 0 时，则 x0 x0时 f(x)=x 2 2x,f(x),=(x)
5、2 2(x),=x 2+2x f(x)=f(x)=（x 2+2x）,例6、已知 f(x)是偶函数，而且在(,0)上是增函数，问 f(x)在(0，+)上是增函数还是减函数？,解：设 0 x 1 x 2+,在所证区间上取值,则 x 2 x 1 0,f(x)在(,0)上是增函数,f(x 2)f(x 1),f(x)是偶函数,f(x 2)f(x 1),故 f(x)在(0，+)上是减函数,课堂作业,1.已知 f(x)是奇函数，而且在(,0)上是增函数，问 f(x)在(0，+)上是增函数还是减函数？,2、作出下列函数的图象：1）y=|2x|2）y=x 2+2|x|3、已知 f(x)是偶函数，当 x 0 时，f(x)=x 2 2x+1，求当 x 0 时，f(x)的解析式，并画出此函数 f(x)的图象。,
