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1、26.5-5切线定理的典型例题,临泉县,临泉县汇英中学 闫东 2012,圆的切线的判定,【解析】(1)连结OC.因为ACOP，所以ACO=COP，CAO=POB.由OA=OC，得OAC=OCA，所以COP=POB 在COP和BOP中，,所以COPBOP,所以PBO=PCO=90，所以PC是的切线.(2)由COPBOP，得 DPO=OPB，所以.因为DA=OA=OB，所以 又因为AD等于O的半径，ACOP，所以,所以.,点评,本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的证明，考查平面几何的推理论证能力.要证直线PC是O的切线，只要证OCPC即可；要求比例线段，可通过中间比来过渡，结合图形，利用条件即可
2、获证.,【变式练习1】如图，AB是O的直径，C，F为O上的点，CA是BAF的角平分线，过点C作CDAF交AF的延长线于D点，作CMAB，垂足为点M.求证：(1)DC是O的切线;(2)AM MB=DF DA.,【解】(1)连结OC，则OAC=OCA.CA是BAF的角平分线，OAC=FAC，FAC=OCA，OCAD.CDAD，CDOC，即CD是O的切线.,(2)连结BC.则ACBC 在RtACB中，-RTAMCRtCMB CM2=AM MB.(切割线定理)CD是O的切线，CD2=DF DA.又-RtAMCRtADC，CM=CD，AM MB=DF DA.,切割线定理及其应用,【解析】连结AE，AF.
3、因为AB是圆O的直径，所以AEB=AFB=90.又CDB=90，ABC=DBF，所以DBCFBA,所以，即AB BD=BC BF.,因为AEB=90，CDAB，所以BE2=BD AB(直角三角形射影定理).因为CT是切线，CB是割线，所以CT2=CF CB.所以BC2-CT2=BC2 CF CB=BC(BC-CF)=BC BF,所以 BE2=BC2-CT2，即BE2+CT2=BC2.,点评,有切线有割线，考虑利用切割线定理；有直径，莫忘直角；有平方形式，考虑直角三角形射影定理.,【变式练习2】如图，AB是O的直径，C，F是O上的两点，OCAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF
4、交AB于点E.求证：DE2DBDA.,【解析】连结OF.因为DF切O于F，所以OFD90.所以OFCCFD90.因为OCOF，所以OCFOFC.,【解析】因为COAB于O，所以OCFCEO90.所以CFDCEODEF，所以DFDE.因为DF是O的切线，所以DF2DBDA.所以DE2DBDA.,四点共圆及其应用,【例3】如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B=60，F在AC上，且AE=AF.证明：(1)B，D，H，E四点共圆；(2)CE平分DEF.,【解析】(1)在ABC中，因为B=60，所以BAC+BCA=120.因为AD、CE是角平分线，所以HAC+HCA=60，所以 AHC=
5、120，所以EHD=AHC=120.因为EBD+EHD=180,所以B，D，H，E四点共圆.,(2)连结BH，则BH为ABC的平分线.由(1)知，B，D，H，E四点共圆,CED=HBD=30.又EBD=AHE=60,由已知可得EFAD,CEF=30，所以CE平分DEF.,点评,本题是对考生几何推理论证能力的综合考查，所用到的知识较多，证明的关键是根据四点共圆的条件进行证明.在解题时要根据已知条件，通过等量代换将角集中到一个四边形中，达到使用条件的目的.,1.如图，两同心圆的半径分别为1、2，大圆的弦AD与小圆交于B、C两点，求AB BD的值.,【解析】过B作大圆的直径EF，则BE=OE-OB=
6、2-1=1,BF=OB+OF=1+2=3.由相交弦定理得AB BD=BE BF=13=3.,3.如图所示，O的弦AB、CD相交于点P，PA=4 cm,PB=3 cm,PC=6 cm,EA切O于点A，AE与CD的延长线交于点E.若AE=cm，求PE的长.,【解析】根据相交弦定理，得PD PC=PA PB，所以PD 6=43,所以PD=2(cm).因为EA是O的切线，所以EA2=ED EC，所以 20=ED(ED+8)，所以ED=2(cm),则PE=4(cm).,4.已知O1和O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D.经过点B的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F.
7、求证：CEDF.,【解析】如图，连结AB.因为四边形ABEC 是O1的内接四边形，所以BAD=E.因为四边形ADFB 是O2的内接四边形，所以BAD+F=180.所以E+F=180,所以CEDF.,3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用相交弦定理、切割线定理及其推论；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式比例式中间比相似三角形.,4.与圆有关的常用辅助线(1)有弦，可作弦心距；(2)有直径，可作直径所对的圆周角；(3)有切点，可作过切点的半径；(4)两圆相交，可作公共弦；(5)两圆相
8、切，可作公切线；(6)两半圆，可作整圆.,1.(2011苏、锡、常、镇四市一模卷)如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆，求证：AG GF=DG GE.,【解析】连结EF.因为B，C，F，E四点共圆,所以ABC=EFD.因为ADBC，所以BAD+ABC=180,所以BAD+EFD=180，所以A，D，F，E四点共圆.因为ED交AF于点G，所以AG GF=DG GE.,选题感悟：本题以圆为切入点，重点考查圆中有关定理的应用，求解的关键在于通过四点共圆，实现角的相等的转化，同时又把分散的条件集中起来，这是进行几何推理证明的一个重要技巧，也是高考的热点.,
