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1、直线与圆的位置关系（3）,切线长定理,复习,1、切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,2、切线的性质归纳如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件。这三个条件是：(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于切线。,知二求一,活 动 一,如图，纸上有一O，PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。,1、OB是O的一条半径吗？,2、PB是O的切线吗？,经过圆外一点，可以做圆的 条切线,2,A,B,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。,切线长概念,如右图，线段PA，PB叫做点P到O的切线长，对吗？
2、,想一想：切线和切线长是一回事么？,(1)切线是一条与圆相切的直线，不能度量.(2)切线长是一条线段的长，它是一个数量,可以度量.,注意：切线和切线长是两个不同的概念,概念辨析,活 动 二,如图，纸上有一O，PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。,利用图形轴对称性解释,3、PA、PB有何关系？,4、APO和 BPO有何关系？,PA=PB,APO=BPO,推理论证,已知：从O外的一点P引两条切线PA，PB，切点分别是A、B.求证：AP=BP，OPA=OPB,证明：连接OA，OBPA，PB与O相切，点A，B是切点OAPA，OBPB 即 OAP=OBP=90 OA=OB，O
3、P=OPRtAOPRtBOP(HL)PA=PB OPA=OPB,切线长定理,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,符号语言:,归纳：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法,应用新知,1、判断（1）过一点可以做圆的两条切线。（）（2）切线长就是切线的长。（）2、已知PA、PB与O相切于点A、B，O的半径为2（1）若四边形OAPB的周长为10，则PA=。（2）若APB=60，则PA=。,O,A,B,3,2,2,30,4,已知：PA、PB分别与O切于点AB，连接AB交OP于点M，那么OP除
4、了平分APB以外，还有什么作用？请说明理由。,(1)OP垂直平分AB,思考,(3)OP平分AOB,即 OPAB，AM=BM,即 AOP=BOP,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连接圆心和切点,在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,归纳：作辅助线方法,练习：PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,A,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB，AB OP,（2）写出图中所有的全等三角形,AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP,（3）写
5、出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,例：如图，PA、PB分别切 O于A、B，CD与O切于点E，分别交PA，PB于C、D，已知PA=7cm，求PCD的周长,证明：,PA、DC为O的切线 DA=DE（切线长定理）同理可证 CE=CB，PA=PB又CPCD=PD+PC+CD=PD+PC+DE+CE=PA+PB=7+7=14 cm,例题,下图是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？,C,A,B,l,C,A,B,活 动 三,假设符合条件的圆已经作出，那么它应当与三角形的三边都相切，这个圆的圆心到三角形的距离都等于半径，如何找到圆心？,C,A,B,三角形的三条角
6、平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，因此，如图，分别作出B、C的平分线BM和CN，设他们相交于点I，那么点I到AB、BC、CA的距离都相等，以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径做圆，则I与ABC的三条边都相切.,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.,C,A,B,I,D,M,N,r,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，,例2 如图 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.,解:设 AF=x（cm），则,AE=x，,CD=CE=ACAE=13x，,BD=BF=ABAF
7、=9x，,由BD+CD=BC可得,（13x）+（9x）=14.,解得 x=4cm.,因此 AF=4（cm），,BD=5（cm），,CE=9（cm）.,C,A,B,E,F,O,D,活 动 四,变式：如图，RTABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=5cm，BC=13cm，求ABC的内切圆的半径长？,直角三角形的两条直角边是a、b，斜边为c.其内切圆的半径为：r=a+b-c/2,1.如图，ABC中ABC=50ACB=75，点O是内心，求BOC的读数.,解：BOC=180（ABC+ACB）,=117.5,=180（50+75）,活 动 五,结论：BOC=90+1/2 A,2.ABC的内切圆半径为r，ABC的周长为l，求ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）,课堂小结,1、切线长概念经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。,2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。,总结,
