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1、空间中直线与直线的位置关系,判断下列命题对错：1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内。（）2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。（）3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内。（）4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（）5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面。（）,平面有关知识（复习）,判断下列直线的位置关系:1、竖直的两条电线杆所在的直线,思考:在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系?,2、十字路口的两条路所在的直线,3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧
2、所在的直线,空间的两直线呢?,复习引入：,1、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系？,2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？,(1)、相交：有且仅有一个公共点。,(2)、平行：在同一平面内没有公共点。,互相平行,提出问题：空间中的两条直线呢？,1.空间中两条直线的位置关系,观察：,观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗?,观察上方体的棱所在直线,回答类似的问题.,思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？,l,m,P,m,l,图1,图2,l,l,l,l,空间中两直线的位置关系,从图中可见，直线 l 与 m
3、 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）,不同在任何一个平面内,1、异面直线,判断：,直线m和l是异面直线吗?,(2),则 与 是异面直线,(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面,异面直线的画法:,通常用一个或两个平面来衬托,异面直线不同在任何一个平面的特点,异面直线的画法,这样表示a、b异面正确吗？,想一想,做一做：,1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？,2.下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线
4、段所在直线是异面直线的有几对？,想一想,做一做：,三对,AB与CDAB与GHEF与GH,3.,如图:AA1与CC1在同一平面吗?,直观上,理论上,在图中找出另外的一些异面直线,BB1AA1,DD1AA1,BB1与DD1平行吗?,空间两条直线的位置关系,-有且仅有一个公共点,-在同一平面内,没有公共点,-不同在任何一个平面内,没有公共点,从有无公共点的角度：,有且仅有一个公共点-相交直线,在同一平面内-,相交直线,从是否共面的角度,没有公共点-,平行直线,异面直线,不同在任何一个平面内-异面直线,平行直线,空间两条直线的位置关系有且只有三种,没有,只有一个,没有,共面,不共面,共面,空间中两条直
5、线的位置关系,2.空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？,公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。,公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。,公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。,abcb,ac,符号表示：设空间中的三条直线分别为a,b,c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?,例题示范,例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。,分析：,欲证EFGH是一个平行四边形,只需证
6、EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结BD,只需证：EH BD且EH BDFG BD且FG BD,例题示范,例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。,A,c,B,D,E,F,G,H,变式一：在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?,E,H,F,G,分析：在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,变式二：,空间四面体A-BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且，求证:四边形ABCD为梯形.,A,B,C,D,E,H,F,G,分析：
7、需要证明四边形ABCD有一组对边平行，但不相等。,、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（）,、平行、相交、异面、可能平行、可能相交、可能异面,、两条异面直线指的是（）,、没有公共点的两条直线,、分别位于两个不同平面的两条直线,、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线,、不同在任何一个平面内的两条直线,练习：,3.等角定理,提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?,观察思考：如图,ADC与ADC、ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,3.等角定理,
8、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,3.等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.,4.异面直线所成的角,如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。,为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线aa，a和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。,想一想:a与b所成角的大小与点O的位置有关吗?,两
9、直线的夹角：,两直线相交所成的4个角中,其中不大于 的角叫做两直线的夹角,三、两条异面直线所成的角,如图所示，a，b是两条异面直线，,在空间中任选一点O，,过O点分别作 a，b的平行线 a和 b，,a,b,则这两条线所成,的锐角（或直角），,称为异面直线a，b所成的角。,？,任选,若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直。,异面直线a与b垂直也记作ab,异面直线所成角的取值范围：,平移,异面直线所成的角,如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作ab。,填空：1、空间两条不重合的直线的位置关系有_、_、_三种。2、没有公共点的两条直线可能是_直线，也有可能是 _直线。3、和
10、两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有_。4、过已知直线上一点可以作_条直线与已知直线垂直。5、过已知直线外一点可以作_条直线与已知直线垂直。,平行,相交,异面,平行,异面,无数,无数,相交、异面,1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。()2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。()3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。()4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。(),判断对错：,5.异面直线的判定定理,异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,与 是异面直线,例题示范,例3、如图，已知正方体ABC
11、DABCD中。（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）直线BA和CC的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？,解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线,成异面直线的有直线,，,例题示范,例3、如图，已知正方体ABCDABCD中。（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）直线BA和CC的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？,解：（2）由 可知，等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450。,(3)直线,与直线 都垂直.,练一练,巩固新知：P48页练习1,2题。,例3:如图，是平面 外的一点 分别是 的重心，求证：。,证明：连结 分别交 于,
12、连结,G,H分别是ABC,ACD的重心,M,N分别是BC,CD的中点,MN/BD,又 GH/MN,由公理4知GH/BD.,练习反馈：,1.判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（）（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）,练习反馈：,2选择题（1）“a，b是异面直线”是指ab=,且a不平行于b；a 平面a，b平面b且ab=a平面
13、a，b平面a不存在平面a，能使aa且ba成立上述结论中，正确的是（）（A）（B）（C）（D）,（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）（A）2对（B）3对（C）6对（D）12对,C,C,（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面,3两条直线互相垂直，它们一定相交吗？,答：不一定，还可能异面,D,D,4.垂直于同一直线的两条直线,有几
14、种位置关系？,答：三种：相交，平行，异面,5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线,6选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）（A）异面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能（2）异面直线a,b满足aa,bb,ab=l,则l与a,b的位置关系一定是（）,(A)l至多与a，b中的一条相交;(B)l至少与a，b中的一条相交;(C)l与a,b都相交;(D)l至少与a，b中的一条平行.,D,B,（3）两异面直线所成的角的范围是（）（A）（0,90）（B）0,90)（C）（0,90（D）0,90,7判断下列命题的真假，真的打“”
15、，假的打“”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行（）（2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变（）（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（）,C,课堂小结：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作证算答”,作业布置:P51A组3、4（1）（2）（3）、5、6.,小结,从有无公共点的角度：,有且仅有一个公共点-相交直线,在同一平面内-,相交直线,从是否共面的角度,没有公共点-,平行直线,异面直线,不同在任何一个平面内-异面直线,平行直线,空间直线,公理平行同一条直线的两条直线互相平行,思考题：1、a与b是异面直线，且ca，则c与b一定（）。（A）异面（B）相交（C）平行（D）不平行2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是（）对。（A）6（B）3（C）8（D）123、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（）平面。（A）一个（B）两个（C）三个（D）四个,
