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1、保险精算学Actuarial Science,单 位：广东医人文管理院主讲教师：曾理斌联系方式：,第三节,年金,第三节汉英名词对照,年金支付期延付年金初付年金永久年金变额年金递增年金递减年金,AnnuityPayment periodAnnuity-immediateAnnuity-dueperpetuityVarying annuityIncreasing annuityDecreasing annuity,一、年金的定义与分类,定义按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。分类基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一
2、致每次付款金额恒定一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金,二、基本年金,基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定分类付款时刻不同：初付年金/延付年金付款期限不同：有限年金/永久年金,基本年金图示,1.延付年金（期末付年金）,2.初付年金（期初付年金）,基本年金公式推导,年金现值与累积值的关系,例1.11,一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。,例1.12,某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除
3、了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？,例1.12答案,（1）（2）,例1.13,假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若 求这些付款的现时值。,例1.13答案,方法一：方法二：,例1.14,某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设恒定为3。（1）求退休时个人帐户的积累值。（2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。,例1.14答案,（1）退休时个人帐户积累值计算（2）退休后每年可领取退休金,例1.15,有一企业想在一学校设立一永久
4、奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？,例1.16永久年金,A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？,例1.16答案,基本年金公式总结,未知时间问题,年金问题四要素年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值）关注最后一次付款问题在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（drop payment）在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloon payment）,例
5、1.17,有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：（1）在最后一次正规付款的日期支付。（2）在最后一次正规付款以后一年支付（3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）,例1.17答案,变利率年金问题,类型一：时期利率(第K个时期利率为),变利率年金问题,类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率 计息）,例1.18:,某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.,例1.18
6、答案,例1.19:,某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.,例1.19答案,三、一般年金,一般年金利率在支付期发生变化付款频率与利息转换频率不一致每次付款金额不恒定分类支付频率不同于计息频率的年金支付频率小于计息频率的年金支付频率大于计息频率的年金变额年金,支付频率不同于计息频率年金,分类支付频率小于利息转换频率支付频率大于利息转换频率方法通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实质利率。年金的代数分析,支付频率小于计息频率年金,0,k,2k,nk,计息,支付,1,1,1,例1.20:,某人每年年初在银行存款200
7、0元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.,例1.20答案,方法一:利率转换法方法二:年金转换法,例1.21：永久年金,有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实质利率为i的情况下，该永久年金的现时值。,支付频率大于利息转换频率,支付频率大于,0,第m次每次支付,第2m次每次支付,第nm次每次支付,计息,支付,1,2,n,年金分析方法,方法一：利率转换法,年金转换法,例1.22,某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.,例1.22答案,方法一:方法二:,例1.23：永久年金,一笔年金为每6个月付1元
8、，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？,例1.23答案,年金关系,一般年金代数公式,连续年金,定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金.公式:,恒定利息效力场合,例1.24,确定利息效力使,变额年金,等差年金递增年金递减年金等比年金,等差年金,一般形式现时值积累值,0,1,2,n,P,P+Q,P+(n-1)Q,特殊等差年金,例1.25,从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,然后保持付款额不变的N年期期末付年金,可以表示成 计算,例1.25答案,例1.26,有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试
9、求其现时值。,例1.26答案,等比年金,0,1,2,n,1,1+k,例1.27:,某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.,例1.27答案,1、某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用 5 万元 如果它们前十年每年底存款 1000元 后十年每年底存款 1000+X 元 年利率 7，计算 X。(651.7238)2、价值 10,000 元的新车 购买者计划分期付款方式 每月底还 250 元 期限 4 年 月结算名利率 18，计算首次付款金额。(1489.36159),3、已知 半年结算名利率 6 计算下面年金的现值，从现
10、在开始每半年付款 200 元 共计 4 年 然后 减为每次 100 元 共计 10 年。(2389.72)4、某人现年 40 岁 现在开始每年初在退休金帐号上存入 1000 元 共计 25 年 然后 从65 岁开始每年初领取一定的退休金 共计 15 年 设前 25 年的年利率为 8 后 15 年的年利率7，计算每年的退休金。(8102),5、现有价值相等的两种期末年金 A和 B 年金，A在第110年和第21 30年中每年1元在第 11 20 年中每年 2 元；年金 B在第 1 10 年和第 21 30 年中每年Y 元，在第 1120 年中没有。已知 V10=1/2，计算Y。(1.8),6、已知年金满足 2 元的 2n期期末年金与 3 元的n期期末年金的现值之和为 36，另外递延n年的 2 元n期期末年金的现值为 6 计算i(7%)。,7、某雇员在退休前的第 37 年参加企业养老金计划 年收入为18,000 元 然后每年以 4的速度增加 假定提薪恰好在每年的年中进行。计算 分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例 1）如果年退休金为工作期间年平均工资的 70 年退休金为年平均工资的 2.5 再乘以工作年限；2）如果企业和个人分别将年工资的 3 存入年利率 6 的养老基金；试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。(37.7%,49.8%,12.19,8.34),
