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1、第四节 投资收益分析,关键词,贴现现金流（Discounted cash flow）收益率（yield rate）再投资率（Reinvestment rate）币值加权（Time-weighted）时间加权（Dollar-weighted）,收益（yield）的直观定义为：投资者在一定的时间内将一定的资本经过投资活动取得的收入。衡量收益效果的简单方法是考虑投资价值的变化量。从这个角度看，对投资收益的分析过程与货币的时间价值分析有相类似的地方，两者都是关心变化量（增量），都要考虑时间因素的作用。,一、基本投资分析,本节将第三节考虑的相对简单的年金方式现金流推广到一般的现金流，考虑相应的现金流价值
2、计算。介绍三个基本的价值分析工具。贴现现金流分析（DCF分析）收益率未结算价值,一、基本投资分析,（一）贴现现金流分析（DCF分析）,一般从基金分析的角度，用字母C表示某个时刻的净流入量。如果C=0，则表示投资者有一笔净流出，投资资金有一笔净流入；如果C0结果则正好相反。而取款或收入对投资者来说都表示资金流向为净流入，对基金本身表示净出，一般用字母R表示。显然，对于同一笔业务，在同一时刻，因为所处角度的不同而得到的这两个量数值相同、符号相反。即：在投资期间的任何时刻t，有：,DCF方法可以简述为：对任意一组分别于时刻0，1，n发生的“收益”现金流，以年利率i计算该投资回报流在投资之初的净现值，
3、即：若上述现金流不考虑当前投入，即，这时，从投资一方看，表示以年利率i计算的当前的投入，常常也意味着不同收益水平下该投资项目的价格，若将其看作为年利率i的函数，则以此表示投资的效益。,更一般地，考虑连续方式的现金流，则有如下表示：,考虑一个三年的投资项目：第一年初投资者投入10000元，第二、三年初投入1000元，第四年初投入1200元。该项目期望从第一年底开始有收益：最初为5000元，然后为6000元、7500元。用DCF方法讨论该项目的投资价值。现金流动表：,例30,按利率 投资返回的净现时值,（二）收益率,使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率，也称为“内返回率”。收益率表示当收入
4、资金的现值与投入资金的现值相等时所对应的利率。它是一种使得项目在开始时刻的价值收支平衡的临界利率。备注：1、用线形插值法求得上例中收益率为22.65%。2、收益率投资方希望收益率越高越好，借贷方希望收益率越低越好。,关于收益率有以下几点说明：收益率是直观地评价在投资期限内的可能年平均收益水平。投资期限对收益率的影响非常重要。例31：考虑两种可选的投资项目：A)投资5年，年利率为9%；B)投资10年，年利率为8%。如果两种投资的收益无差异，计算：如果选择A，5年后应将资金用于年利率为多少的投资？,解：设所求利率为i，应该有：解得：换句话说，如果项目A在5年后的再投资收益率大于7.01%，则项目A
5、由于项目B；如果项目A在5年后的再投资收益率小于7.01%，则项目A比项目B的收益差一些。只有当项目A在5年后的再投资收益率等于7.01%时，项目A与项目B在10年内的投资收益都是8%。,收益率的存在性和唯一性。从直观上看，对于确定的一组现金流，它的收益率应该是唯一的，但是，按照定义收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是唯一的。例32：某人立即付款100元，并在第2年末付132元，以换回第1年末返回230元，求这笔业务的收益率。,解：它们的含义是：若第一年的收益率为10%（20%），则100元在第一年底的价值为110（120）元，“取出”230元，实际透支120（110）元，透支部分以收益
6、率10%（20%）计算，在第二年底的价值为132元。,收益率唯一的最常见的情形是：在项目中所有的现金流动只改变一次方向。更直观地是：前期业务的所有净资金都是相同的流向，后期业务都是相反方向的净资金流向，具体在例30的项目中就是。Descartes符号定理：收益率的个数最多为资金流的符号改变次数。,D氏符号判别,例30,例32,投资收益分析也可以在投资期间的各个时刻考虑，在投资中间的每个时刻既有已发生的现金流也有未发生的现金流，因此，投资价值的表示一般有两种方法，如果具体用 表示时刻 的未结投资价值，则有：,（三）未结投资价值,方法一：回溯法方法二：预期法方法三：递推法从投资者看，表示负债；表示
7、盈利。,投资收益率的定义还可以表示为使现金流的终值（投资结束时的未结投资价值）为零的隐含收益率，即 的解。该收益率使投资恰好在第n个时刻达到累积收支平衡。也可以用来判断收益率是否唯一：如果对所有，有；且假定。则 的解i是唯一的。有时收益率也不能完全表示投资的收益情况。,例33：甲以年利率10%从乙处融资1万元，期限一年；同时，甲将这笔资金投资于年利率12%的项目。问：在这个投融资项目中甲的收益率为多少？解：对甲来说，有：所以，不存在i，使。也可以说，对于任何的收益率i都不能使甲在投资结束时的未结余额为零。,实际上，甲必定净收入2000元，甲在没有净投入的条件下却有净收入2000元。甲的投资效果
8、是非常好的。但是，没有一个收益率可以反映这一点，如果甲能以年利率15%投资，那么利润为5000元，但也没有一个收益率可以表示这两种投资的差异。因此，在这种情况下，只是从定义出发计算的收益无法表示投资的收益效果。,例34：已知某账户的当前余额为100万元，在第一年底提出150万元，在第二年底又投入90万元。计算该项目中的收益率。解：对投资一方来说，有：也就是说，对于任何利率i，投资者的最终结果（在第二年底）都是亏损。在这个项目中，无论考虑什么样的年利率，都不能刻画该项目的收益情况。,二、收益率计算,在实质利率定义中，有一个基本假定：在整个计算期内本金不变、利率不变，并且在期末得到利息。但在大量的
9、实际问题中，常会在投资期间对投资账户进行新资金的投入或资金提取。本小节介绍两种收益率计算方法。币值加权法时间加权法,例35：某股民的股票买卖和资金账户的情况如下：问：在过去一年半中，该股民的投资收益如何？,（一）币值加权法（dollar-weighted rates）,这种方法的核心是：只考虑资金量的宏观变化，不区分具体的投资时间和数量。,（一）币值加权法（dollar-weighted rates）,一年（短）期首先考虑投资期限为一个利息换算期（一年）的情形，假定其中只有有限次的资本的投入（或提取）。引入记号：A投资基金在开始时的规模；B投资基金在结束时的规模；I利息收入；时刻t(0t1)投
10、入的净资本量；C整个计算期内新投入的总额净资本量，；在时刻b投入1元经过时间a产生的利息收入，。,资本平衡公式：结束时的资本量=开始时的资本量+总净资本投入+利息收入 即：B=A+C+I将I理解为在此期间投入的所有本金的利息收入之和，则有：特别地，当 时，,投资期限超过1年的情形首先考虑离散情况。已知投资期是从0到n，余额和现金流为：和。在复利方式下，有：通过数值计算反解出i。以上所有讨论都可以推广到连续情形。,（一）币值加权法（dollar-weighted rates）,例35（续）解：现金流和余额为：设 半年实质收益率，由代入具体数据为：解得：，该股民在这一年半的名义年收益率约为6.2%
11、。,例36：某活期账户年初余额为1000元。在四月底存入500元；在六月底和八月底分别提取200元和100元。年底余额为1236元。用币值加权法近似计算年收益率。解：已知：因此有：和：,实际上，我们可以认为该活期账户的年利率为3%；另一方面，如果已知上面活期账户的年利率为3%，6月底（一般国内活期储蓄的利息结算时间）200元提款之前的账户余额为：,例37：某保险公司一年的经营数据如下：年初资产：10,000,000 保费收入：1,000,000投资收入：530,000 保单赔付：420,000投资成本：20,000 其它费用：180,000近似计算该公司在这个年度的实际收益率。,解：,（2）时
12、间加权方法（time-weighted rates of interest）,原理：对于投资账户的每次（因新资本的投入或提取造成）变动，都随时进行利息结算，计算当时的阶段收益率，然后计算整个投资期的综合收益率。这样可以将资金的变动情况通过收益率体现出来。另外，全年的投资收益即与新资本的净投入量有关也与具体投资时间有关。,具体算法：首先考虑投资期限为一年。,时间 0 t1 t2 tm-1 1,投资 C1 C2 Cm-1,金额 B0 B1 B2 Bm-1 Bm,收益率 j1 j2 j3 jm-1 jm,对于任意，表示在时刻t且 未投入前一瞬间的投资资金余额。自然有：和。表示第 个子区间的实际收益率
13、，所以有：或，所以,任意期限n。其它符号相同，只是时间表示为：。投资期间的平均年收益率i满足：时间加权法着重（市场）内在整体的投资性能；而币值加权法只是度量（个体）实际的投资结果。,例38：某投资基金1月1日，投资100000元；5月1日，该笔资金额增加到112000元,并再投资30000元；11月1日，该笔资金额降低为125000元，并抽回投资42000元；次年1月1日，该资金总额为100000元。请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率。,解：,实例分析,例39：某养老基金随时接受缴费和领取，在每笔业务结束时，结算基金的价值。1991年的情况如下：日期 1/1/
14、91 3/1/91 9/1/91 11/1/91 1/1/92基金余额 1,000 1,240 1,600 1,080 900（单位：1,000）缴费情况：2/28/91 200,000；8/31/91 200,000领取情况：10/31/91 500,000；12/31/91 200,000分别用币值加权法和时间加权法计算收益率。,解：币值加权法：,时间加权法：,只有一次性投资的再投资分析 初始投资1元，每年（1个计息期）的利率为i，有时称之为直接投资利率；投资的回报方式为：逐年（1个计息期）收回利息，结束时收回本金；同时将每年的利息收入以年利率j进行再投资，有时称之为再投资利率。计算投资结
15、束时（第n年底）的总收益。,三、再投资分析（利息再投资问题）,流程图如下：,时间 0 1 2 n,利息收入 i i i,原始投资 1,利息收入可以进行再投资，等价于金额为i的n次期末年金（利率j）。因此，投资的累积值为：如果上式中j=i，则上式等于。它就是一般的终值计算公式。当ji时，再投资使得最终收益大于直接投资收益；当ji时，再投资使得最终收益小于直接投资收益。在考虑再投资的情形，实际收益率（用r表示）应介于投资回报率i与再投资率j之间。满足：。,例40,某人一次性投资10万元进基金A。该基金每年年末按7%的年实质利率返还利息，假如利息可按5%实质利率再投资，问10年后这10万元的积累金额
16、等于多少？,积累过程分析,0,1,2,10,利息再投资帐户,基金帐户,解：设一次性投资金额为P，则其积累金额为,有分期投资的再投资分析 每年（1个计息期）初投资1元，每年（1个计息期）的投资利率为i，有时称之为直接投资利率；投资的回报方式为：逐年（1个计息期）收回利息收入，结束时一次收回所有投资；同时将每年的利息收入以年利率j进行再投资，有时称之为再投资利率。计算投资结束（第n年底）时的总收益。,流程图如下：,原始投资 1 1 1 1,时间 0 1 2 n-1 n,利息收入 i 2i(n-1)i n i,当ji时，再投资使最终收益大于直接投资收益；当ji时，再投资使最终收益小于直接投资收益。实际收益率（用r表示）应介于投资回报率i与再投资率j之间。,例41（例40续）,假如此人在10年期内每年年初都投资1万元进基金A，本金按7%年实质利率计息，而利息可按5%实质利率再投资，那么第10年末该10万本金的积累金额又等于多少？,积累过程分析,0,1,2,10,利息再投资帐户,基金帐户,解：,
