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1、利用导数解决生活中的优化问题,1、实际问题中的应用.,本节是用导数的知识解决实际生活中的一些问题，这些问题运用导数的知识解决非常方便.例如，在生活、生产和科研中经常遇到的成本最低、用料最省、效率最高、利润最大等问题，这些问题统称为优化问题.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.,满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.,3、求最大（最小）值应用题的一般方法,(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。,(2)
2、确定函数定义域，并求出极值点。,(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点。,2、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。,首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解。,解:设箱底边长为x cm，,箱子容积为V=x2 h,例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？,则箱高,V=60 x3x/2,令V=0，得x=40,x=0,(舍去),得V(40)=16000,答：当箱底边长为x=40时
3、,箱子容积最大，最大值为16000cm3,在实际问题中，如果函数 f(x)在某区间内只有一个x0 使f(x0)=0,而且从实际问题本身又可以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点比较，f(x0)就是所求的最大值或最小值.(所说区间的也适用于开区间或无穷区间),例2.要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？,解:设桶底面半径为R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。,答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。,例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为 求
4、产量q为何值时,利润L最大。,分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.,求得唯一的极值点,因为L只有一个极值点,所以它是最大值.,答:产量为84时,利润L最大.,解:设B(x,0)(0 x2),则 A(x,4x-x2).,从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).,令,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上
5、每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,令,在 的范围内有唯一解x=15.,所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.,注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.,练习4:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h.,答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时,圆柱体的体积最大.,例4如图，扇形AOB中，半径0A=1，AOB=900，在OA的延长线上有一动点C，过C作CD与弧AB相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交于点D，当点C在什么位置时，直角梯形OCDB的面积最小？,注：在实际问题中，若函数在区间内只有一个点使y=0,如果函数在这点有极值，那么不与端点比较，就可确定这个点就是最值。,
