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1、3 利用极坐标、柱坐标和球坐标求重积分,一、重积分的换元积分法,二、利用极坐标系计算二重积分,三、利用柱坐标和球坐标求重积分,一、重积分的换元积分法,定理1：设f（x，y）在有界闭区域D连续，在D上具有一阶连续偏导数的函数,把D映射为uv平面的区域D，其逆变换记成,又设 行列式,则,例1 f(x，y)在闭区域Dxy连续，则极坐标变换,它把 变成，行列式,故,二、利用极坐标系计算二重积分,极坐标系下化二重积分为二次积分,设积分区域D的点的极角 变化的范围在 和 之间，射线 和 把区域D的变化分成内侧边界 和外侧边界 设它们都是单值函数，极角 的射线从极坐标为 的点进入区域D，从极坐标为 的点穿出
2、。,满足,因此在极坐标系下区域D有如下不等式:,此时有:,这条射线落D内的部分其极坐标,此处，D的边界曲线是中心在原点的圆周，D既非x型域也非y型域。,例3.平面上到两定点（-a，0）和（a，0）的距离之积为 的点的轨迹称双钮线，求 双钮线所围图形的面积。,设动点坐标为(x,y),则,解:,如右图所示,得到,由此可知双钮线关于坐标轴及坐标原点对称,令,得双钮线的极坐标方程,双钮线与x轴在第一象限所围部分D为：,X轴与双钮线在第一象限部分所围面积：,在第一象限部分,故所求面积,例4.计算积分(1),其中D为圆域.(2),例5.求球体 被圆柱面 所截得的含在圆柱面内那部分的立体的体积.,定理2：设
3、f（x，y，z）在空间有界区域连续，函数u=u（x，y，z），v=v（x，y，z），w=w（x，y，z）,在上具有一阶连续偏导数，并把映射到Ouvw空间的区域。其逆映射为,若Jacobi行列式：,则成立换元积分公式：,例6 设空间一点M（x,y,z）在xoy平面的投影P（x，y），如果P（x，y）的极坐标为,变换的Jacobi行列式为,即,则 称为点M 的柱坐标。它与直角坐标的变换关系为：,，故成立换元积分公式,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,如图，柱面坐标系中的体积元素为,则三重积分,若一空间区域 在柱坐标系下的不等式表示为,例7.求三重积分,其
4、中V是球面 与抛物面 所围部分。,例8.设空间一点 在xoy面的投影为 向径 的长度，与 OZ 轴正向的交角为，过OZ轴和点M的半平面的交角。,故球坐标与直角坐标的变换关系：,则 称为M的球坐标，,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,故成立换元积分公式:,故，球坐标系中体积微元,球面坐标系中的体积元素为,如图，,例 9 计算三重积分,其中 为半球面,例10.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接圆锥所围立体体积。,解 选坐标系使球面过原点，球心在z轴上与直角坐标为 处，其方程为,锥面顶点在原点，其轴与 轴重合，,例 11 计算积分，其中 为椭球体,解 利用椭球坐标变换,其Jacobi行列式,三、利用柱坐标和球坐标求重积分,在椭球坐标系 可表示为,故,
