力学4角动量功和能.ppt

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1、第一篇,力学,角动量功和能,动量定理：,合外力的冲量等于动量的改变。,(微分形式),(积分形式),适用于质点和质点系。非惯性系中还须考虑惯性力的冲量。,上节课内容回顾,质点系的动量守恒定律：,当 时，,普遍适用（高低速、宏微观）。,1.质点的角动量,定义：,力矩：,角动量也叫,单位：,注意:,同一质点对不同定点的角动量是不同的。,动量矩。,(线)动量,第3节 角动量定理 角动量守恒定律,Angular Momentum Theorem&Principle of Conservation of Angular Momentum,质点作圆周运动时对圆心的角动量的大小：,2.质点的角动量定理,注意:

2、,适用于惯性系，对非惯性系，需引入“惯性力”。,对 求时间的导数：,0,冲量矩,(微分形式),(积分形式),质点的角动量定理：质点对任一固定点的角动量的时间变化率，等于质点所受的合外力对该固定点的力矩。,3.质点的角动量守恒定律,若,则,角动量守恒定律,（2）,（1）是普遍规律,宏观、微观均适用。,（3）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。,力心,质点对力心的角动量守恒。,（4）质点对某点的角动量守恒,对另一点不一定守恒.,注意:,角动量定理分量式：,角动量守恒定律在直角坐标系中的分量式可表示为：,当总角动量不守恒时，角动量在某些方向上的分量可以是守恒的。,例5.在光滑的水平桌面上有一

3、小孔O,一细绳穿过 小孔,其一端系一小球放在桌面上,另一端用 手拉绳，开始时小球绕孔运动,速率为v1,半 径为r1,当半径变为r2时,求小球的速率v2.,解：小球受力,显然:,f拉,有心力,f 拉,问题：若取O为参考点呢？,角动量守恒：,动画,例6.用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律:行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,即行星的矢径的面积速度为恒量。,在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积可以近似地认为是图中阴影所示的三角形的面积，即,解：,面积速度,由于行星对太阳中心的角动量守恒，即,恒矢量,另外，由行星对太阳中心的角动量守恒还可以得出行星运动的另一特点。根据角动量

4、的定义，行星对太阳的角动量应垂直于它对太阳的位置矢量和动量所决定的平面，角动量守恒，则角动量的方向不变，所以行星绕太阳的运动必然是平面运动。,动画,4.质点系的角动量定理和角动量守恒定律,质点系的角动量:,质点系中的各个质点对给定参考点的角动量的矢量和,称为质点系对该给定参考点的角动量。,质点系中的各个质点相对于给定参考点的外力力矩的矢量和,称为质点系对该给定参考点的合外力矩。,第i个质点受到的来自质点系外的作用力。,质点系的合外力矩:,质点系：,内力矩总是成对出现：,这表明:质点系对惯性系中某给定参考点的角动量的时间变化率,等于作用在该质点系上所有外力对同一参考点的总力矩。质点系的角动量定理

5、,亦可写成:,因此,当质点系相对于某一给定参考点的合外力矩为零时,该质点系相对于该给定参考点的角动量不随时间变化。质点系的角动量守恒定律,与质点的情形类似,若质点系对某固定点的合外力矩不为零，但此合外力矩在某一方向上的分量为零，则尽管质点系对此固定点的总角动量不守恒，但质点系的角动量在该方向上的分量却是守恒的。,作业：2T6，T7，T8，T9，T10,功和能,Work&Energy,第1节 功 功率,第2节 动能 动能定理,第3节 保守力 势能,第4节 功能原理 机械能守恒定律,a,b,o,所做的总功:,Work&Power,第1节 功 功率,1.功 力的空间积累效应,元功,t,t+dt,在S

6、I制中,功的单位是焦耳,符号是J:1J1Nm,合力做的功：,注意：,可见:合力对物体所做的功等于其中各个分力分别 对该物体所做功的代数和。,若有多个力同时作用在质点上，则,(2)功是标量，但有正负，且与参考系有关。,力对质点所做的功,不仅与始、末位置有关，而且往往与路径有关。,2.功率,平均功率：,瞬时功率(功率)：,做功的快慢,功率：力在单位时间内所做的功。,在SI制中,功率的单位是瓦特,符号是W:1W1Js1,当额定功率一定时,负荷力越大,可达到的速率就越小;负荷力越小,可达到的速率就越大。这就是为什么汽车在上坡时走得慢,下坡时走得快的道理。,例1.如图所示,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力

7、 拉着质量为m的车沿半径为R的圆弧形路面极 缓慢地匀速移动,车与路面的滑动摩擦系数为，求：车由底端A被拉上顶端B时,各力对车所做的功。,解:,车受4个力的作用：拉力F,摩擦力f，沿切向；路面支持力N，指向圆心O；重力mg，竖直向下。,在切向与法向有:,拉力的功:,重力的功:,摩擦力的功:,路面支持力N的功为零。,例2.力 作用在质量为m2kg的质点上，使质点由静止开始运动,试求最初2s内这个力 所做的功。,解:,质点做直线运动,或者：,第2节 动能 动能定理,Kinetic Energy&Theorem of Kinetic Energy,质点由a运动到b,合外力做的功为:,质点的动能定理：合

8、外力对质点所做的功等于质 点动能的增量。,解法1:,例3.质量为 的质点,在平面内运动,方程为，求从 到 这段时间内，外力对质点作的功.,由功的定义：,解法2:,应用动能定理，得,上节课内容回顾,质点的角动量：,力矩：,角动量定理：,角动量守恒定律：,质点对力心的角动量守恒。,有心力：,功力的空间积累效应：,功率做功的快慢：,质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质 点动能的增量。,第3节 保守力 势能,Conservative Force&Potential Energy,1.保守力与非保守力,保守力：对质点做功的大小只与质点的始末 位置有关，而与路径无关。,非保守力：对质点做功的大小不但

9、与质点的始 末位置有关，而且还与路径有关。,比如：重力、弹性力、万有引力等。,如图:当质点在保守力的作用下沿闭合路径apbqa绕行一周时，,即：,保守力的环流为零,如：摩擦力、粘滞力等。,*弹力的功,弹力是变力,是位置的函数,“弹性势能”,2.保守力的功,保守力：重力、弹力、万有引力等.,*重力的功,*万有引力的功,是位置的函数，“重力势能”,是位置的函数，“引力势能”,可以证明：,可以证明：,结论：保守力作的功，等于势能增量的负值。,（1）保守力(如:重力,弹力,万有引力)的功与路 径无关,由此可以引入的势能概念。,（2）质点在任一位置的势能,等于把质点由该位置 移到势能为零的点的过程中,保

10、守力所做的功:,注：,原则上,势能零点可任选。,（3）保守力将质点由 a 沿任意路径移动到 b 再由 b 沿任意路径移回到 a 点，那么,保守力的环流为零,a,b,势能是属于物体系统的,不为单个物体所具有。,3.由势能求保守力,保守力做功等于势能增量的负值,又,比较以上式子可得:,要求上式对任意的dx,dy,dz成立,则必有：,若已知系统势能,利用上式,可由势能求保守力.,或者写成：,拉普拉斯算符（梯度算符）,例如弹性势能：,弹性力：,利用势能曲线分析质点的稳定性：,如图为一质点在保守力下作一维运动的势能随位置的变化曲线,曲线中有四个平衡点：A、B、C、D,因为在这四个点是曲线的极值,平衡性分

11、析：,A点是随遇平衡；,B、D点是稳定平衡；,C点是不稳定平衡。,第4节 功能原理 机械能守恒定律,Work-Kinetic Energy Theorem&Principle of Conservation of Mechanical Energy,1.质点系的动能定理,对质点系中任一质点i应用质点的动能定理,得,对所有质点，有,外力的功,内力的功,即：,外力的总功与内力的总功之代数和等于质点系动能的增量质点系的动能定理,内,内,内,2.功能原理,机械能,故,质点系机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的总和。功能原理,内,保守内力,非保守内力,保守内力,非保守内力,非保守内力,非保守内力,

12、3.机械能守恒定律,根据功能原理,若,则,即,恒量,当一个系统内只有保守内力做功，非保守内力和一切外力都不做功，或者非保守内力和一切外力的总功为零时，质点系的总机械能保持恒定。质点系的机械能守恒定律,解:,例3.如图,物体质量m=2kg,沿固定的四分之一圆 弧轨道由A静止下滑,到达B点时的速率v=6m/s,求各力所做的功。,由功能原理得,重力所做的功：,到达B点时的动能：,有摩擦力做功,例4.长为,质量为 的均匀柔软链条，一部分平放在桌、面上，另有一小段自桌边垂下。链条与桌面间的摩擦系数为，问（1）下垂部分的长度 为多大时，链条开始下滑？（2）当整个链条刚脱离桌面时，下落的速度为多大？,解：,

13、（1）链条在运动方向上受重力 和摩擦力,当链条刚开始下滑时：,解得：,（2）取链条与地球为系统，取桌面为重力势能的零点，根据系统的功能原理：,摩擦力做功：,于是解得：,例5.如图，已知斜面的倾角是300，弹簧一端固定在斜面上，处于自然长度时，其另一端位于B点，一质量为2 kg的物体以初速度-1从斜面 上A点处滑下，物体到B点时，开始压缩弹簧0.2m后停止，然后又被弹送回去。AB间距离为4.8m，设弹簧的质量不计，物体与斜面之间的摩擦力为6.2N。试求(1)弹簧的倔强系数k(2)物体被弹回后所能达到的最大高度 h。(g 取10 m.s-2),解：研究系统,选0为重力势能零点，B为弹性势能零点（初

14、态A，末态0）,坐标:如图,物体受力分析：,由功能原理：,最高点坐标为x，由功能原理：,物体被弹回的最大高度,例6.质量分别为 和 的两物体A和B，用弹性系数为k的弹簧相连，静止放置在光滑桌面上。质量为 的子弹以水平速度 射入物体A，设子弹射入时间极短。试求：（1）物体B能达到的最大动能（2）弹簧的最大形变。,解：,（1）碰撞过程时间极短，B的速度看作0,由动量守恒：,物体A、物体B以及弹簧组成一个系统，在后面的过程中，只受弹簧提供的保守内力,于是整个过程中动量守恒，机械能守恒,动量守恒：,机械能守恒：,弹簧为原长的时候，B的速度最大！,令：,解得：,（2）消去，将弹簧的形变 表示为 的函数。,令：,得到：,两物体速度相等时，弹簧形变最大！,将 带回 的表达式,2T11、T12、T13、T14、T15,作业：,