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1、勾股定理的方程思想,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,勾股定理,勾股定理的常见表达式和变形式,在直角三角中，如果已知两边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知一条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢？,感受新知1,（二）例题,【问题1】如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？,例1.有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?,例1.有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉
2、向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?,设计意图：,1.能利用勾股定理解决简单的实际问题；,2.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；,3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；,4.本题是我国古代数学著作九章算术中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果.,解决与勾股定理有关的实际问题时，先要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾股定理求解.,小结：,AB的中垂线DE交BC于点D,
3、AD=BD,BC=3,BD+CD,AD+CD,=,=,3,如图，在RtABC中，C=90,AC=1，BC=3.AB的中垂线DE交BC于点D,连结AD，则AD的长为.,x,3-x,感受新知2,在直角三角形中（已知两边的数量关系）,设其中一边为x,利用勾股定理列方程,解方程,求各边长,基本过程,如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长.,6,6,例 1,解：在RtABC中 AC=6cm，BC=8cm AB=10cm,设CDDExcm，则BD（8-x）cm,由折叠可知AEAC6cm，CDDE,C=AED=90,解
4、得x3 CD=DE=3cm,BE10-64cm,BED=90,在RtBDE中由勾股定理可得（8-x）2 x2+42,例 1,【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？,例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.,例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.,方法一,方法二,例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.,1.如
5、果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常数），在这个三角形中利用勾股定理求解.,2.解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量.,小结：,例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.,注意：,1.基本图形：“平行、角平分线、等腰三角形”知二推一,2.折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好在图中标出相等的线段和角.,练习,思考1,1、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上
6、 建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？,解：,设AE=x km，则 BE=（25-x）km根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 DE=CE AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：E站应建在离A站10km处。,x,25-x,思考1,在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？,A,B,C,D,思考2,A,B,C,D,解：如图，D为树顶，A
7、B=5 m,BC=10 m.,设AD长为x m，则树高为(x+5)m.,AD+DC=AB+BC,DC=10+5 x=15-x.,在RtABC中，根据勾股定理得,解得x=2.5,答：树高为7.5米。,x+5=2.5+5=7.5,10 2+(5+x)2=(15 x)2,思考2,例3.已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积.,【问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有直角，怎么利用勾股定理求解？,设计意图：,经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想;,例3.已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，
8、求ABC的面积.,方法一：,例3.已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积.,方法二：,例3.已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积.,小结：,1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直角三角形;,2.“斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解.,例3.已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积.,注意：,1.本题可选择列方程或方程组求解，当列方程组求解时，要注意开平方时，是两种情况，要舍去负值；当列方程求解CD时，最好写“”，可以省去后面的讨论;,2.本题也可以过A
9、或B作对边的高.,【问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？,设计意图：,【问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？,1.经历对几何图形的观察、分析，初步掌握利用“补”图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想;,2.题目中设置的已知量并不是整数，意在增强学生的计算能力.,小结：,题目中没有直角三角形，但存在直角，可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上，本题利用“割”也有多种做法.,小结：,题目中没有直角三角形，但存在直角，可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上，本题利用“割”也有多种做法.,注意：,1.本题的解法很多，但是解法上
10、却有的简单，有的复杂，要选择好方法;,2.注意不要跳步.不能直接用结论：“含有30的直角三角形的三边的比为：”;如：要求CE，需先求DE，再由勾股定理求CE.,【问题5】如果将勾股定理中“直角三角形”改为“斜三角形”，的关系会是怎样呢？,思考题：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图，根据勾股定理，则，若ABC不是直角三角形，如图和图，请你类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论.,思考题：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图，根据勾股定理，则，若ABC不是直角三角形，如图和图，请你类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论.,设计意图：,1.从
11、证明方法角度看，通过利用“割”、“补”图形构造直角三角形的方法，得出类似勾股定理的结论，它是本节课所学知识的综合应用；,2.从结论上看，三角形的边长由具体的数变成了字母，结论具有普遍性，它也是本章第18.1小节勾股定理的推广，体现了特殊与一般的转化思想.,思考题：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图，根据勾股定理，则，若ABC不是直角三角形，如图和图，请你类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论.,小结：,若ABC是锐角三角形，则有，若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有.,.,思考题：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图，根据勾股定理，则，若ABC不是直角三角形，如图和图，请你类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论.,.,注意：,锐角三角形和钝角三角形都要过点A或点B作高，才能得出结论.,小结,应注意：没有图的要按题意画好图并标上字母.,再见,
