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1、第七章 向量代数与空间解析几何,在平面解析几何中我们通过引进坐标系把平面上的点和一对有序数对对应起来，把平面上的曲线图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题空间解析几何也是按照同样的方法建立起来的。本章首先建立空间直角坐标系，引进向量的概念及向量的运算，然后介绍空间的曲面和曲线，并以向量为工具来讨论空间的平面和直线，最后介绍二次曲面,第一节 空间直角坐标系,引 我们学过平面直角坐标系，平面上的点都对应平面直角坐标系上的一个二维坐标.那么，在空间中，如何建立坐标系，以表示空间点呢？,为了沟通空间图形与方程的关系，需要建立空间点与有序数组之间的联系为此，我们引进空间直角坐标系,一、空间
2、直角坐标系及点的坐标,在空间中取定一点 O 作为原点,通过该点做三条相互垂直的数轴,分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴,统称为坐标轴.,通常将 x 轴和 y 轴置于水平面上,z 轴取铅直方向,见图.,三个坐标轴的次序和方向一般按右手法则,来排列:,用右手握住 z 轴,四个手指从 x 轴的正向旋转 90到轴的正向时,拇指的指向就是 z 轴的正向.按右手法则确定的的坐标系称为右手系.,由任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面.三个坐标轴确定了三个坐标面.x 轴和 y 轴所在的平面称为 xOy 坐标面,另外两个坐标面分别是 yOz 坐标面和 zOx 坐标面.,三个坐标面将整个空间分为 8 个部分,每一
3、部分称为一个卦限.含有 x 轴、y 轴和 z 轴的正半轴的那个卦限称为第一卦限,第二、第三、第四卦限都在 xOy 面的上方,按逆时针方向确定;第五卦限在第一卦限在下方,第六、第七、第八卦限都在 xOy 面的下方,按逆时针方向确定.,这 8 个卦限分别用罗马数字、来表示,见图.,上面建立的的坐标系中,坐标轴、坐标面都是两两垂直的,故称为空间直角坐标系.,有了空间直角坐标系,就可以建立空间中的点和有序数组之间的对应关系.,设 M 为空间中的一点,过该点做三个分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的平面,它们与 x 轴、y 轴和 z 轴分别交于 P 点、Q 点和 R 点.这三个点在 x 轴、y 轴和
4、z 轴上的坐标分别是 x、y 和 z.从而,空间中的点 M 就唯一确定了一个有序数组(x,y,z);,反之,给定一个有序数组(x,y,z),则可分别在 x 轴、y 轴和 z 轴上取坐标为 x,y,z 的三个点 P,Q,R,过这三个点各做一个分别与 x 轴、y 轴和 z 轴垂直的平面,这三个平面有唯一的交点,这个交点就是有序数组(x,y,z)所确定的点 M,见图.,这样,利用空间直角坐标系,就在有序数组(x,y,z)与空间中的点 M 之间建立了一一对应关系.,有序数组(x,y,z)称为点 M 的坐标.其中 x,y 和 z 分别称为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标.在以后的表述中,常把一个点和表示
5、这个点的坐标不加区别,所说的给定一个点,就是给定这个点的坐标;所说的求一个点,就是求这个点的坐标.,坐标面和坐标轴上的点的坐标都有一定的特点.,如 xOy 面上的点,竖坐标 z=0;zOx 面上的点,其纵坐标 y=0;yOz 面上的点,其横坐标 x=0;z 轴上的点横、纵坐标均为零,即 x=0,y=0.同样,x 轴上的点有 y=0,z=0;y 轴上的点有 x=0,z=0;原点的三个坐标均为零.,从点 M(x,y,z)引垂直于 xOy 面的直线,直线与 xOy 面的交点 N(x,y,0)称为点 M 在 xOy 面的,投影.,在 MN 的延长线上取一点 P,使点 P 到 xOy 面,的距离等于点
6、M 到 xOy 面的距离,称点 P 是点 M 关于 xOy 面的对称点,点 M 的坐标为(x,y,z).,类似地,点 M 关于 x 轴的对称点的坐标为(x,y,z),关于原点的对称点的坐标为(x,y,z).点 M 关于其他坐标面、坐标轴的对称点与此完全类似.,各卦限内,点的坐标符号为,:(+,+,+),:(+,).,:(,),:(,+,),:(+,+,),:(+,+),:(,+),:(,+,+),二、空间中两点间的距离,对空间中两点 M 1(x 1,y 1,z 1)和 M 2(x 2,y 2,z 2),可用其坐标表示它们之间的距离 d.,过 M 1,M 2 两点各做三个分别垂直于三条坐标轴的平
7、面.这 6 个平面围成以 M 1,M 2 为顶点的长方体,见图 6 4.,由勾股定理得,特殊地,点 M(x,y,z)到原点 O(0,0,0)的距离为,例1 在 z 轴上求一点 M,使点 M 到点 A(1,0,2)和点 B(1,-3,1)的距离相等.,解 因为所求的点 M 在 z 轴上,故点 M 的坐标应为(0,0,z).根据题意,有,解得 z=3,即点 M 的坐标是(0,0,3).,例2 已知一动点 M(x,y,z)到两点 A(1,2,3)和 B(1,3,0)的距离总是相等,求动点 M 的坐标所满足的方程.,解 由已知条件,有,两端平方后整理,得 2 x+5 y+3 z 2=0,即动点 M 的坐标应满足这个三元一次方程.,
