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1、第五节 向量值函数在定向曲面上的积分(第二类曲面积分),一、第二类曲面积分的概念与性质,二、第二类曲面积分的计算法,一、第二类曲面积分的概念与性质1、定向曲面及其法向量,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,能区分出曲面的侧 的曲面叫做双侧曲面.,(1)曲面的分类:,1)双侧曲面;,2)单侧曲面.,典型双侧曲面,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,
2、莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,在双侧曲面上选定某一侧，这种选定了侧的双侧曲面称为定向曲面.,用表示选定了某个侧的定向曲面，,则选定其相反侧的定向曲面用 表示.,注意：与 是不同的曲面.,(2)定向曲面,由方程 z=z(x,y)表示的曲面分上侧和下侧，,由方程 x=x(y,z)表示的
3、曲面分前侧和后侧，,由方程 y=y(z,x)表示的曲面分左侧和右侧，,封闭曲面分内侧和外侧.,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总是指向曲面取定的一侧.,类似地：,其方向用法向量指向,方向余弦,0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:,定向曲面的投影:,2、引例,实例:流向曲面一侧的流量.,2、引例,实例:流向曲面一侧的流量.,1.分割,则该点流速为.,法向量为.,3.求和,2.取近似值,4.取极限,若记,则,3、第二类曲面积分的定义,4.第二类曲面积分的另一种表达
4、式,简称 y z 型积分,简称 z x 型积分,简称 x y 型积分,5.若是封闭曲面，则在上的第二类曲面积分可记为,6.第二类曲面积分存在的条件:,7.物理意义:,流速为,的流体，在单位时间内流向指定侧的流量.,8.第二类曲面积分的性质:,即第二类曲面积分与积分曲面的方向有关.,1)线性性质,3)设 的反侧曲面记为，则：,二、第二类曲面积分的计算法,1.分面投影法(分三个积分进行计算),简称 y z 型积分,简称 z x 型积分,简称 x y 型积分,下面计算 x y 型积分,4.第二类曲面积分的另一种表达式,(上正下负),“一投,二代,三定号”,(前正后负),(右正左负),解,解,注意:,
5、1.,2.,计算第二类曲面积分,还必须注意曲面所取的侧.,3.,解,=1+2+3+4+5，其中,1：z=0，Dxy：x2+y2 1，x 0，y 0，取下侧，,2：x=0，Dyz：0 y 1，0 z 1，取后侧，,3：y=0，Dxz：0 x 1，0 z 1，取左侧，,4：z=1，Dxy：x2+y2 1，x 0，y 0，取上侧，,5:x2+y2=1，Dxz：0 x 1，0 z 1，取外侧.,两类曲面积分之间的关系：,2.合一投影法(适用于定向曲面上各点处的法向量有统一的表达式),解：,原式,解,3.化为第一类曲面积分计算(一般适用于积分曲面是定向平面),是平面,在第四卦限部分的上侧,计算,提示:,求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,三、小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,“一投,二代,三定号”,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,练 习 题,练习题答案,
