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1、第七章平面向量,7.4.1 向量的内积,江西省女子中专 许丽娟,创设情境兴趣导入,如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，,那么，这个人做了多少功？,做功等于力与在力的方向上移动,的距离的乘积力F是水平方向的力,与垂直方向的力的和，垂直方向上,没有产生位移，没有做功，水平方向,上产生的位移为s，即,动脑思考探索新知,这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由,两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与,向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积,新授,1两个非零向量夹角的概念,已知非零向量 与，作，则 AOB 叫,记作,做 与 的夹角,规定,（4）在
2、两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的,O,A,B,（1）当 时，与 同向；,说明：,（2）当 时，与 反向；,如图，设有两个非零向量a，b，作,由射线OA与OB所形成的的角叫做向量,a与向量b的夹角，记作,两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b,的内积，记作ab，即,ab|a|b|cos(7.10),由内积的定义可知,a00,0a0.,动脑思考探索新知,新授,2向量的内积,记作,已知非零向量 与，为两向量的夹角，则数量,（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，符号由 的符号所决定,说明：,（2）两个向量的内积，写成；符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“
3、”代替,叫做 与 的内积,规定 与任何向量的内积为0,向量.向量,或,=数,时,时,时,或,(规定零向量与任一向量垂直),或,或,或,命题3.1,(规定零向量与任一向量垂直),满足以下运算规律:,1)交换律,2)关于数因子的结合律,3)分配律,向量的内积,动脑思考探索新知,例1 已知,求,解：由已知条件得,新授,例2 求证,证明：,因为,所以,新授,7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式,江西省女子中专 许丽娟,解：,1,0,0,1,复习导入：如何用向量的长度、夹角表示内积？如何用内积、长度来表示夹角？的充要条件?如何用向量的内积表示向量的长度?,向量的内积：,向量的夹角：,(判断两向量垂直
4、的依据),(计算向量的长度),动脑思考探索新知,设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，由于ij，故ij 0,又|i|j|1,所以,ab(x1 iy1j)(x2 iy2j),x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j,x1 x2|j|2 y1 y2|j|2,x1 x2 y1 y2.,这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，,即,ab x1 x2 y1 y2(7.11),新授,在直角坐标平面 内，为 轴，轴的基向量，,，则,定理,问题,（2）若，你能求出 吗？,解：因为,向量的长度公式,新授,在直角坐标平面 内，为 轴，轴的基向量，,，则,定理
5、,推论,两向量垂直的充要条件,向量内积的坐标运算公式,两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和,新授,例1 已知,求,解：由已知条件得,因为,所以,又因为,新授,在直角坐标平面 内，为 轴，轴的基向量，,，则,定理,问题,解：因为,由向量的长度公式得：,则,两点间距离公式,新授,例2已知,求,解：由已知条件得,所以,新授,例3已知,求证：ABC是等腰三角形,证明：因为,所以,即ABC是等腰三角形,新授,拓展已知,求证：,证明：因为,所以,可得,归纳小结,本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距离公式，常见的题型主要有：,1直接用两向量的坐标计算内积；,2根据向量的坐标求模；,4运用内积的性质判定两向量是否垂直,3根据两点的坐标求两点间的距离；,谢谢指导！,
