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1、4.1 向量组及其线性组合,主要内容：一、n维向量的定义二、向量组的定义三、向量组的线性组合四、向量组等价五、向量组的线性表示,1 向量组及其线性组合,定义:n个有次序的数a1,a2,an所组成的数组称为n维向量,这 n个数称为该向量的n个分量,第i个数称为第i个分量.例 n维向量,1 向量组及其线性组合,定义:给定向量组A:a1,a2,am,对于任何一组实数k1,k2,km,表达式 k1a1+k2a2+kmam 称为向量组的一个线性组合,k1,k2,km称为这个线性组合的系数.,例,1 向量组及其线性组合,定义:给定向量组A:a1,a2,am,和向量b,如果存在一组数1,2,m,使 b=1a
2、1+2 a2+mam,则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.注意:向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组 b=x1a1+x2 a2+xmam 有解.,1 向量组及其线性组合,向量b能由向量组A线性表示.,方程组 有解.,例,1 向量组及其线性组合,定理 向量b能由向量组A:a1,a2,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,am,b)的秩.,1 向量组及其线性组合,例,解 因为,由此可知，R(A)=3,R(B)=4，即 R(A)R(B)，因此向量 b不能由向量组 A 线性表示.,1 向量组及其线性组合,定义:设有两个向量
3、组A:a1,a2,am 及B:b1,b2,bm,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.,1 向量组及其线性组合,例设有两个向量组A:及B:则称向量组B能由向量组A线性表示.,1 向量组及其线性组合,例 设有两个向量组A:及B:,则称向量组A与向量组B等价.,1 向量组及其线性组合,定理 向量组B:b1,b2,bl,能由向量组A:a1,a2,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2,am,b1,b2,bl)的秩,即R(A)=R(A,B).,1 向量组及其线性组合,例设有两个向量组A:及B:向量组B能由向量组A线性表示.,1 向量组及其线性组合,推论 向量组A:a1,a2,am 与向量组B:b1,b2,bl等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.,1 向量组及其线性组合,例设有两个向量组A:及B:向量组B与向量组A等价.,1 向量组及其线性组合,定理 设向量组B:b1,b2,bl,能由向量组 A:a1,a2,am线性表示,则 R(b1,b2,bl)R(a1,a2,am).,
