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1、,拉格朗日中值定理,罗尔（Rolle）定理,实际上,C点处的切线与弦 AB 平行.,几何解释:,把上图做一旋转，得到下图：,C,C点处的切线与弦线 AB 平行.,C,拉格朗日（Lagrange）中值定理,弦AB斜率,切线斜率,此条件太苛刻,有限增量公式,推论 1,证,推论 2,(C 为常数),证,拉格朗日中值定理,函数单调性的判定法,拉格朗日中值定理,函数单调性的判定法,引入新课,新课讲授,小结与作业,导数的几何意义：,y=f(x),0,x,y,引入新课,例题,引例.,解：,A,B,P,0,x,y,注：这个例题反映了一个一般事实，可以写成下面的定理。,返回,(A),一.拉格朗日中值定理,推论：
2、如果y=(x)在区间（a、b)内有f(x)0 则在此区间内f(x)c(常数）。,定理：如果函数y=(x)满足，10.在（a、b)上连续 20.在（a、b)内可导，则至少存在一点 使等式f(b)-f(a)=f()(b-a)成立。,注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。,例题与练习,新课讲授,(B)练习1：下列函数中在区间-1、1上满足拉格朗日中值 定理条件的是_,(A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间0、1内满足拉 格朗日中值定理的值。,解：,f(1)-f(0)=3,2+2=3,1)f(x)=ln(1+x)2)f(x)=|x|,4)f(x)=arctanx,下一页,二.函数单调性的判定法,
3、0,x,y,0,x,y,a,b,A,B,a,b,A,B,几何特征：,定理：设函数y=f(x)在a、b上连续,在（a、b)内可导.,1）若在(a、b)内f(x)0，则y=f(x)在a、b上单调增加。,2）若在(a、b)内f(x)0，则y=f(x)在a、b上单调减少。,y=f(x),y=f(x),证明,f(x)0,f(x)0,证明,在(a、b)内任取两点x1,x2且x1x2.则在x1、x2上函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。,f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1),(x1、x2),若f(x)0,则f()0 又x2-x10,f(x2)f(x1),y=f(x)在a、b上单调增加,同理可
4、证：若f(x)0,则函数f(x)在a、b上单调减少,注：1）上述定理中间区间a、b若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。,2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点 都有f(x)0(或 f(x)0)，则f(x)在(a、b)内满足单调 增加(单调减少).,例题,(A)例1.,判定y=x3的单调性,y=3x2,当x=0时 y=0,当x0时 y0,x(-,+),y单调增加,0,x,y,(A)例2.判断下列函数的单调性,下一页,解：,解：,1）定义域为(-、+),2)f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),3)列表：,令 f(x)=0 得x1=1 x2=2,4）由表可
5、知：函数的单调增区间为（-、12、+）单调减区间为（1、2）。,x,y,y,(-、1),+,1,0,（1、2）,-,+,(2、+),2,0,(B)练习2：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。,下一页,(C)例4：,解：,1）定义域为(-、-1)（-1、+).,3)列表:,(-、-2),+,-2,0,（-1、0）,-,0,0,+,(0、+),4）由表可知函数的单调增区间为(-、-2)(0、+)单调减区间为（-2、-1）（-1、0）。,x,y,y,（-2、-1）,-,返回,三.小结与作业,1.拉格朗日中值定理及推论。,2.函数单调性的判定方法与步骤。,3.作业：P40:(A)1.(1
6、)(B)3.(3)(4)(C)3.(6),小结与作业,返回,拉格朗日中值定理,函数单调性的判定法,引入新课,新课讲授,小结与作业,拉格朗日中值定理,函数单调性的判定法,拉格朗日中值定理,几何直观,一.教材分析,（1）教材的地位和作用,（2）重点难点,（3）课时安排,一.教材分析,微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有很重要的地位.拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量
7、联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。,（一）教材的地位和作用,一.教材分析,（二）重点与难点,教学重点：探求和理解拉格朗日中值定理。教学难点：探求拉格朗日中值定理的条件；运用定理研究函数单调性。,一.教材分析,拉格朗日中值定理和函数的单调性可安排两课时。本节作为第一课时，重在探求拉格朗日中值定理，理解拉格朗日中值定理的几何意义和定理的条件，体会该定理在研究函数性态应用中的作用。,（三）课时安排,二.教法分析,（一）学情分析,（二）教学方法,（三）学法分析,（四）具体措施,二.教法分析,（一）学情分析,学生已经学习了导数的概念和导数
8、的运算，对微分的定义及运算有了直观的认识和理解。通过体会导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是发现函数与其导数是两个不同的概念；而导数只是反映函数在一点的局部特征；而函数反映在其定义域上的整体性态，如何建立两者之间的联系呢？多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难，发现连接曲线两端点的直线段有时与曲线上某点的切线是平行的，但是又不知是否对所有曲线都满足?,二.教法分析,（二）教学方法,1、多媒体辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生发现存在某点的切线与连接两端点的线段是平行的，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示这一过程，体会逼近的思想方法。2、
9、探究发现法教学 让学生通过动手操作课件，经历“实验、探索、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的认识规律，通过学生“动手、动脑、讨论、演练”增加学生的参与机会，增强参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。,二.教法分析,（三）学法分析,自主、合作、探究借助多媒体技术创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。引导学生动手操作课件，指导学生讨论交流从而发现规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。,二.教法分析,（四）具体措施,根据
10、以上的分析，本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。,三.教学目标,通过实验探求拉格朗日中值定理条件，理解拉格朗日中值定理在研究函数性态中的作用，培养学生分析、抽象、概括等思维能力。,掌握知识与技能,三.教学目标,体会过程与方法,在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过程中，使学生通过认识用导数来研究函数形态，发现
11、数学的美，数学知识的融会贯通；通过数形结合的思想的具体运用来探讨定理的条件，使学生思维达到严谨，了解科学的思维方法。,三.教学目标,培养情感态度与价值观,在拉格朗日中值定理的探讨过程中，渗透逼近和数形结合的思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系，激发学生勇于探索、勤于思考的精神；通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发学生学习数学的兴趣；培养学生合作学习和数学交流的能力。,四.教学过程,（一）教学流程图,（二）教学过程与设计思路,（一）教学流程图,教学程序及设计意图,教学过程,设计意图,教学过程,设计意图,教学过程,设计意图,（三）灵活运用 透析内涵求函数 在0,2上满足拉格朗日中值定理条件的
12、？解：，由拉格朗日中值定理得：,这是学生思维上升的又一个层次，设计该题目的在于加深学生对导数刻画函数单调性的理解，通过它及时发现学生的问题，及时纠正，能对学生情况给予及时评价。,教学过程,设计意图,教学过程,设计意图,，,教学过程,设计意图,1、知识技能小结2、思想方法小结,小结提高,核心概念,知识技能思想方法,五.评价与反思,1、板书设计：,五.说明和反思,2、时间安排：新课引入约10分钟，探索求知约10分钟，灵活运用约20分钟，小结提高约5分钟。,五.说明和反思,本节课设计为一节“科学探究合作学习”的活动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识的认
13、识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。,力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。,教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的形成知识结构，并将其转化为数学能力。,过程反思,请各位老师提出宝贵意见,谢谢,一、罗尔(Rolle)定理,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,四、泰勒(Taylor)中值定理,1 费马（Fermat)引理,一、罗尔(Rolle)定理,几何解释:,证明:,几何解释:,2 罗尔(Rolle)定理,证,由费马
14、引理可知，,注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,注2:若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的.,例如,例1,2）唯一性,矛盾,由零点定理,即为方程的正实根.,证：1）存在性,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,化归证明法,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,推论1,拉格朗日中值公式另外的表达方式：,例2,证,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,证,作辅助函数,例3,证,分析:结论
15、可变形为,1 问题的提出,四、泰勒(Taylor)中值定理,不足,问题,1、精确度不高；,2、误差不能估计。,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,3 泰勒(Taylor)中值定理,证明:,定理1（带lagrange余项的泰勒定理）,如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则,拉格朗日形式的余项,皮亚诺形式的余项,定理2（带peano余项的泰勒定理）,如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则,几点说明：,4 常用n阶泰勒公式及其简单应用,解,解,其它函数的麦克劳林公式,误差传递公式:,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问
16、题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,C,A,例8.设由方程,确定函数,求,正确解法:,2.设,其中,在,因,故,正确解法:,时,下列做法是否正确?,在求,处连续,例8.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,0.1 函数的极值,0.2 函数的最值,0.3费马定理,问题：是不是所有的极值点都是驻点？,0.3费马定理,例如,一、罗尔定理,几何解释:,如何从理论上证明？,证,注意:1、若罗尔定理的三个条件 i、闭区间上连续；ii、开区间内可导；iii、两端点函数值相等 是定理成立充分条
17、件；,结论是存在导数为0的点,导数为零的点的存在的时候，可能这三个条件都不成立,注意:2、若罗尔定理的三个条件缺一不可：即：其中任何一个不成立，均有可能使结果不成立,例1,证,由零点定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,分析:,(1)在区间 a,b 上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,证毕,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量
18、与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,令,则,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,推论:,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证:在 I 上任取两点,日中值公式,得,由 的任意性知,在 I 上为常数.,例2,证,例3,证,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1)在闭区间 a,b 上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)在开区间(a,b)内,至少存在一点,使,满足:,要证,证:作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,
19、切线斜率,例8,证,分析:,结论可变形为,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:设辅助函数,费马引理,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,4.思考:在,即,当,时,问是否可由此得出,不能!,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,思考题,试证：,作业：P146:2.5.6.7.10.,费马
20、(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中
21、最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,第二章 一元函数微分学及其应用,2.6 微分中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,费马(fermat)引理,证:设,则,几何背景,定理2.1,定理2.1,证明：,返回,注意：,证明,推广到一般情形,定理2.2,证明,推论1:,若函数,在区间(a,b)内,则,在(a,b)内必为常数.,证:在(a,b)内任取两点,日中值公式,得,由 的任意
22、性知,在(a,b)内为常数.,自证:,证恒等式:,欲证,时,只需证在 I 上,证明：,步骤:,证:,定理2.3,问题:,否!,两个 不一定相同,证:作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例 设函数,至少存在一点,使,证:结论可变形为,设,则,在 0,1 上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,证明,例 试证至少存在一点,使,证:,用柯西中值定理.,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,费马引理,谢谢！,
