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1、1 拉格朗日定理和 函数的单调性,一、罗尔定理与拉格朗日定理,二、函数单调性的判别,质来得到 f 在该区间上的整体性质.,中值定理是联系 与 f 的桥梁.有了,返回,定理6.1(罗尔中值定理),一、罗尔定理与拉格朗日定理,那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点,使,(i)在闭区间 a,b 上连续;,(ii)在开区间(a,b)上可导;,(iii)f(a)=f(b).,(1)几何意义,据右图,平的.,一点处的切线也是水,看出,曲线上至少有,的.由几何直观可以,所以线段 AB 是水平,因为,点击上图动画演示,f(a)=f(b),(2)条件分析,定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不,在 0
2、,1 上满足条件(ii)和,一定成立.,数在(0,1)上的导数恒为1.,(iii),但条件(i)不满足,该函,满足条件(i)和(iii),但条件,条件(i)和(ii),但条件(iii),满足,处不可导),结论也不成立.,(ii)却遭到破坏(f 在 x=0,内的导数恒为1.,却遭到破坏,该函数在(0,1),条件都不满足,却仍有,f(0)=0.这说明罗尔定,理的三个条件是充分,条件,而不是必要条件.,定理的证明,因为 f(x)在 a,b 上连续,所以由连续函数的最大、,情形1 M=m.此时 f(x)恒为常数,它的导函数恒,f()=0.,小值 m.下面分两种情形加以讨论.,最小值定理,f(x)在 a
3、,b 上能取得最大值 M 和最,等于零,此时可在(a,b)内随意取一点,就有,情形2 m M.既然最大、最小值不等,从而最大,因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以,值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最,由费马定理,得,这与条件矛盾.,例1 设 p(x)是一个多项式,且方程 p(x)=0 没有实,证,重数为 1.,根,则方程 p(x)=0 至多有一个实根，且这个根的,矛盾.,设函数 f(x)满足：,定理6.2(拉格朗日中值定理),(i)f(x)在闭区间 a,b 上连续;,(ii)f(x)在开区间(a,b)内可导.,那么在开区间 内(至少)存在一点,使得,几何意义 如右图，,用平行推
4、移的方法,曲线上至少在一点,可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.,连线的斜率为,y=f(x)的两个端点 A,B,处的切线与 AB 平行,其斜率 也等于,曲线,定理的证明 设,可以验证F(x)满足罗尔定理的三个条件,所以,使,即,是一个常值函数.,在x1,x2上满足拉格朗日定理的条件,则有,这就是说,在区间I上的任何两个值都相等,所,以为常值函数.,证 分别按左右极限来证明.,对上式两边求极限，便得,f(x)在区间I上一致连续.,只要,便有,故 在I上一致连续.,满足拉格朗日定理的条件，故有,式成立.当 时，,和 时,显然不为零,严格不等,求证:,从而,因为,所以,1.一般来说,中值点,仅指
5、,而不是,中值点的讨论.,显然,与 x 有关,当时,却未必也趋,2.若在 上可微,上连续,则对任,意,向于.,因,变为,当 x 趋于 时,不趋于,而是趋于 1.,3.若 f(x)在(a,b)上可微,a,b 上连续,则对于任意,存在,使,容易猜测.,这实际上是不成立的.请看下面的例题.,当 时,必有.从等式,例6 设,易见 f 满足拉格朗日中值定理的条件,约去 x,我们得到,因此对每个 x 0,存在 使,由于,有,因,二、函数单调性的判别,改为严格不等号,则相应地称它为严格增(减).,下面的定理是本节中的两个主要定理,今后将不,若函数,若“”,断地使用.,定理6.3,证,定理6.4 可微函数 f(x)在区间 I 上严格递增的充,即,证,个区间.,矛盾.充分性得证.,注 请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理.,必要性请读者自证.,在实际应用中我们经常会用到下面这个事实.,性质,作为应用，下面再举两个简单的例子.,例7 求证,证,恒有,例8 设 f(x)=x 3 x.讨论函数 f 的单调区间.,解 由于,因此,即,复习思考题,的证明相比较.,罗尔定理证明的主要方法是什么?试与达布定理,
