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1、一、分类计数原理（加法原理）：完成一件事情，有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.,第十五章 排列、组合与二项式定理,要点：（1）分类；（2）相互独立；（3）N=m1+m2+mn（各类方法之和）,分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.,要点：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N=m1m2mn（各步方法之积）
2、,总结出两个原理的联系、区别：,完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”,完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”,每类办法相互独立，每类方法都能独立地完成这件事情,各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事,都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题,例1书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？,解：从书架上任取一本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取一本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取
3、法的种数是N=4+3+2=9答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法.,例2书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？,解:从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：,根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 N=432=24答：从书架的第1，2，3层各取1本书，有24种不同的取法.,第3个步骤是从第3层取一本体育书，有2种方法,第2个步骤是从第2层取1本文艺书，有3种方法；,第1个步骤是从第1层取1本计算机书，有4种方法；,课堂练习,书架的上层放有 5 本不同的数学书，中层放有6本
4、不同的语文书，下层放有4本不同的英语书，从中任取1 本书的不同取法的种数是（）A.5+64=15 B.1 C.654=120 D.3,A,在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各一本,则不同取法的种数是()A.1+1+1=3 B.5+6+4=15 C.564=120 D.1,C,二、排列的概念：,从n个不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同；（3）当m=n时，称为n个元素的全排列
5、.,排列数的定义：,从n个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数.,用符号表示:,区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数，所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.,排列数公式,从n个元素a1,a2,a3,an中任取m个元素填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数由分步计数原理完成上述填空共有 种填法.,说明：,（1
6、）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数；（2）全排列：当m=n时,即n个不同元素全部取出的一个排列.,全排列数：,排列数公式阶乘表示：,1、从2，3，5，7，11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？,2、5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？,3、某年全国足球中超联赛共有16队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？,一般地，从n个不同元素中取出m（mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同,三、组合的概念：
7、,组合数的概念：,从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示:,组合数公式:,一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 可以分如下两步：,先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；,求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：,组合数性质1：,组合数性质2：,1、利用组合数性质计算：,2、5个男生，3个女生（1）男女生各选2个参加会议，有多少种不同的选法？（2）选4人参加会议，其中必须有女生，有多少种不同的选法？（3）选4人参加会议，女生至多1人，有多少种不同的选法？,分组问题：“含”与“不含”“至多”与“至少”,特
8、殊元素先排,1、a、b、c、d、e五个人排成一排，依下列条件有多少种不同的排法？,（1）共有多少种排法？,（2）a必须在中间,（3）a必须在两端,（4）a不在首，b不在尾,四、排列、组合的简单应用,（10）a在b的前面,1、a、b、c、d、e五个人排成一排，依下列条件有多少种不同的排法？,（5）a、b、c必须相连,（7）a、b、c恰有两个相连,（8）a、b、c中至多有两个相连,（9）a、b、c中至少有两个相连,（6）a、b、c不相连,（10）a在b的前面,1、a、b、c、d、e五个人排成一排，依下列条件有多少种不同的排法？,a在第1位,a在第2位,a在第3位,a在第4位,分类讨论,所以共有24
9、+18+12+6=60种不同的排法,2、3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的概率是(),3、书架上陈列了4本科技杂志和4本文艺杂志。一位学生从中任取一本阅读，那么他阅读文艺杂志的概率等于（）（A）1（B）0.25（C）0.5（D）0.125,4、某学生从5门课程中任选3门，其中甲、乙两门课程至少选一门，则不同的选课方案共有（）种。（A）11（B）10（C）9（D）8,C,c,5、8名选手在8条跑道的运动场进行百米赛跑，其中有2名中国选手，按随机抽签方式决定选手的跑 道，2名中国选手在相邻的跑道的概率为（）。,6、4个人排成一行，其中甲、乙二人总排在一起，则不同的排法共有（）。
10、(A)3种(B)6种(C)12种(D)24种,7、两个盒子内各有3个同样的小球，每个盒子中的小球上分别标有1，2，3三个数字，从两个盒子中分别任意取出一个球，则取出的两个球上所标数字的和为3的概率是（）。,C,8、某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程一定要选修，则不同的选课方案共有（）。(A)4种(B)8种(C)10种(D)20种,9、5个人排成一行，则甲排在正中间的概率是（）。,10、某学生从6门课程中选修3门，其中甲、乙两门课程 至 少选一门，则不同的选课方案共有（）。(A)4种(B)12种(C)16种(D)20种,11、正六边形中，由任意三个顶点连线构成的 三角形的个数为（）。（A）6
11、（B）20（C）120（D）720,C,例3、6本不同的书，按下列要求处理，各有几种分 法？（1）一堆1本，一堆2本，一堆3本（2）甲得1本，乙得2本，丙得3本（3）一人得1本，一人得2本，一人得3本（4）平均分给甲、乙、丙三人（5）平均分成三堆,非均匀不定向分配（有序）,非均匀定向分配（有序）,均匀分组问题（无序）,均匀定向分配（有序）,非均匀分组（无序）,例4（1）将6个相同的小球放入4个抽屉，每个抽屉至少有1个球的方法有多少种？（2）将9本相同的练习本分给5个人，每人至少1本，有多少种不同的分法？（3）某城市一条道路上有12盏路灯，为了节约用电又不影响正常照明，可以熄灭其中的3盏灯，但路
12、的两端灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，共有多少种熄灭的方法？,相同元素分组问题：插空法（隔板法）,例5、从5双不同的鞋子中取出4只，按下列条件有多少种不同的取法？（1）取出4只鞋恰好配成2双（2）取出4只鞋至少配成1双（3）任何2只都不能配成1双,分组问题：配对,五、二项式定理,(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4,(a+b)2(a+b)(a+b),展开后其项的形式为：a2，ab，b2,这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b,恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21,恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C
13、22,每个都不取b的情况有1种，即C20,则a2前的系数为C20,=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b3,单三步,二项展开式定理:,一般地，对于n N*，有：,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的，其中（r=0,1,2,n）叫做，叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有_个项.,展开式,二项式系数,r+1,n+1,单三步,2.二项式系数规律：,3.指数规律：,（1）各项的次数和均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0，第二项b的次数由0逐次升到n.,1.项数规律：,展开式共有n+1个项,二项展开式定理
14、:,单三步,特别地:,2、令a=1，b=x,1、把b用-b代替,3、,二项展开式定理:,单三步,注：1）注意对二项式定理的灵活应用,2）注意区别二项式系数与项的系数的概念,二项式系数为；项的系数为：二项式系数与数字系数的积,解:,单三步,解:,第三项的二项式系数为,第六项的系数为,单三步,解:,第四项系数为280,单三步,解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：,由题意可知，,故存在常数项且为第7项，常数项,常数项即 项.,例4(1)：试判断在 的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.,单三步,解：的展开式的通项公式为：,点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高.,有理项即整数次幂项,(2)：由 展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？,单三步,练习：,1、求 的展开式常数项,解:,单三步,2、求 的展开式的中间项,解:,展开式共有10项,中间两项是第5、6项,单三步,单三步,的展开式中的常数项为（）。A、6 B、12 C、15 D、30,
