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1、1,第五节 控制系统的根轨迹分析法,2,利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正 由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；分析参数变化对系统稳定性的影响；分析系统的瞬态和稳态性能；根据性能要求确定系统的参数；对系统进行校正。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,3,一、条件稳定系统的分析,例4-11：设开环系统传递函数为：,试绘制根轨迹，并讨论使闭环系统稳定时 的取值范围。,开环极点：0,4,6,0.7j0.714，零点：1j1.732,实轴上根轨迹区间：,渐近线：与实轴的交点：,倾角：,解根据绘制根轨迹的步骤，可得：,4.5 控制系统的根轨迹分析法,4,分离会合点：,Kgd的最大值为9.37
2、5，这时s=2.5，是近似分离点。,用Matlab可算出分离点s=2.3557;另一根为5.1108(略)。,另外可以根据 求实轴分离点的近似值。求出-4，0之间的增益如下表所示,分离角：,4.5 控制系统的根轨迹分析法,5,由图可知：当 和 时，系统是稳定的；,画出根轨迹如图所示，该图是用Matlab工具绘制的。,出射角：，入射角：,与虚轴的交点和 对应的增益值：,当时，系统是不稳定的。,这种情况称为条件稳定系统,4.5 控制系统的根轨迹分析法,6,条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这样的系统叫做条件稳定系统。,具有正反馈的环节。,下面的系统就是条件稳定系统的例子：,开环非
3、最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s的右半平面；,条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在工程实际上，应注意参数的选择或通过适当的校正方法消除条件稳定问题。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,7,例非最小相位系统：，试确定使系统稳定时的增益值。,解：根轨迹如右：,有闭环极点在右半平面，系统是不稳定的。显然稳定临界点在原点。该点的增益临界值为。,闭环特征方程为：，当s=0时，所以，系统稳定的条件是：,4.5 控制系统的根轨迹分析法,8,二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定,利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。,以二阶
4、系统为例：开环传递函数为,闭环传递函数为,共轭极点为：,在s平面上的分布如右图：,闭环极点的张角 为：,所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,9,我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：,的关系如下图,4.5 控制系统的根轨迹分析法,10,例4-12单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量，试确定开环放大系数。,当 时，闭环系统不稳定。,根据计算知道：根轨迹与虚轴的交点为，这时的临界增益,解：首先画出根轨迹如图。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,11,这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着
5、 的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。,在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线，与根轨迹交于A、B两点。则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量小于18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益，进而求得开环放大系数K。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,12,由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为：。该极点是共轭复极点实部的6倍多。,解得：,实部方程虚部方程,4.5 控制系统的根轨迹分析法,13,例：单位反馈系统的开环传递函数为,画出根轨迹能否通过选择Kg满足最大超调量%5%的要求？能否通过选择Kg满足调节时间ts2秒的要求？能否通
6、过选择Kg满足位置误差系数Kp10的要求？,解：画根轨迹实轴无根轨迹渐近线 s=-2.5，q=45,135与虚轴交点w=2，Kgp=100,4.5 控制系统的根轨迹分析法,14,4.5 控制系统的根轨迹分析法,15,能否通过选择Kg满足最大超调量%5%的要求？,当取阻尼角为45的主导极点时，%5%的要求。由根轨迹可见阻尼角为45的线与根轨迹相交，可求得主导极点为s=0.8+0.8j，另一对极点为s=4.2+0.8j相差5.25倍，满足主导极点的要求。,能否通过选择Kg满足调节时间ts2秒的要求？,能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp10的要求？,要求ts2秒，即要求3/s2，s1.5。由根轨迹
7、可知主导极点的实部1，所以不能通过选择Kg满足ts2秒的要求。,所以不能通过选择Kg满足Kp10的要求。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,16,问题增加开环零点改变根轨迹，因而改变闭环极点。那么是否改变闭环零点？当两个系统的根轨迹相同并选择相同的闭环极点时，这两个系统的瞬态响应是否一样？,4.5 控制系统的根轨迹分析法,17,例4-15：设系统A和B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹，如下图所示。已知系统A有一个闭环零点，系统B没有闭环零点。试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,18,系统A和B的闭环传递函数分别为：,解：由于两系统的根轨迹完全
8、相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B的开环传递函数为：特征方程为：,4.5 控制系统的根轨迹分析法,19,由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数为：。系统B的前向通路传递函数为：，反馈通路传递函数为：。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，系统的A的前向通路传递函数可写为：，闭环方块图如下图（a）所示，系统B的闭环方块图如下图（b）所示。,根轨迹相同的系统，开环传递函数和闭环极点都相同，但闭环零点却不一定相同。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,20,三、利用根轨迹求解代数方程的根,例 求如下代数方程的根,解：为了将此题作为一个根轨迹问
9、题来考虑，应将上式变换成根轨迹方程的形式。因式中无根轨迹增益，变换结果不唯一。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,21,4.5 控制系统的根轨迹分析法,22,四、开环零、极点对根轨迹形状的影响,开环传递函数在s左半平面增加一个极点将使原根轨迹右移。从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调整时间。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,1、增加极点：,23,4.5 控制系统的根轨迹分析法,24,若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向左移动。从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,2、增加零点:,25,Matlab参考书推荐：现代控制工程，美Katsuhiko
10、Ogats,卢伯英译，电子工业出版社 MATLAB控制系统设计，欧阳黎明著，国防工业出版社,五、用Matlab绘制根轨迹,4.5 控制系统的根轨迹分析法,26,num=0 0 0 1;%开环传递函数分子系数，降幂排列den=1 3 2 0;%开环传递函数分母系数，降幂排列r=rlocus(num,den);,例子系统的开环传递函数为：，试利用Matlab画出系统的根轨迹。,解打开Matlab,创建一个m文件，输入下列程序片段：,执行之，可得到根轨迹。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,27,小 结,条件稳定系统的分析 临界稳定增益的确定；瞬态性能分析和开环系统参数的确定 阻尼角和等阻尼线；超调量
11、、调整时间与闭环极点的关系；根据性能指标确定二阶及高阶系统的开环放大系数；开环零、极点对根轨迹形状的影响。用Matlab绘制根轨迹的方法,4.5 控制系统的根轨迹分析法,28,例4-13已知系统开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算使系统稳定的k值范围；（3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。,解：（1）画根轨迹：,4.5 控制系统的根轨迹分析法,29,求出射角：利用辐角条件计算出射角，得。该系统有三条根轨迹，一条从原点起始，终止于开环零点-1处；另两条从原点以 的出射角起始，分别终止于-3和无穷零点处。,会合分离点：由方程 得 解得 在根轨迹上，因此是会合点。不在根轨迹上，舍去。,4
12、.5 控制系统的根轨迹分析法,30,求与虚轴交点 系统特征方程为 劳斯表为当 时，由辅助方程，可求出根轨迹与虚轴的交点为。（2）由劳斯表可知当 时，系统稳定。（3）系统含有三个积分环节，属型系统，型系统对于斜坡输入的稳态误差为零。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,31,例4-14已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比 是，并求此时系统的闭环特征根；（3）分析k对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,32,当 时，阻尼角，表示 角的直线为OB,其方程为，代入特征方程整理后得：令实部和虚部分别
13、为零，有解得由图可知当 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比，特征根为。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,33,对于分离点2.93，由幅值条件可知,由根轨迹图可知，当0k0.858时，闭环系统有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当0.858k29.14时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当29.14k时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。,对于会合点17.07，有,4.5 控制系统的根轨迹分析法,34,由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线OB与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由上可知，此时系统的闭环极点为。,4.5 控制
14、系统的根轨迹分析法,35,例4-16:已知单位反馈系统的根轨迹如下图所示。（1）写出该系统的闭环传递函数；（2）试用适当的方法使系统在任意K值时均处于稳定的状态。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,36,解：由根轨迹图知系统的开环传递函数为：,单位反馈系统的闭环传递函数为：,提示：加入比例微分控制后，系统增加了开环零点。在系统中加入零点后，将使根轨迹左移，有利于系统的稳定性。,4.5 控制系统的根轨迹分析法,37,从下图可以看出：a越小，根轨迹越左，稳定性越好。a6时，根轨迹有一部分在s右半平面。,clear all;num1=0 0 1 3;den1=1 6 0 0;num2=0 0 1 5;
15、den2=1 6 0 0;num3=0 0 1 7;den3=1 6 0 0;h1=tf(num1,den1);h2=tf(num2,den2);h3=tf(num3,den3);rlocus(h1,h2,h3),4.5 控制系统的根轨迹分析法,38,例 已知控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为：,(1)绘制当,从,变化时系统的根轨迹，确定系统闭环稳定的,值范围；,(2)若已知系统闭环极点,，试确定系统的闭环传递函数。,，,39,例 已知控制系统如图所示(1)绘制系统的根轨迹，并确定 时的闭环极点；（2）画出 时单位阶跃响应的草图；并估算闭环系统的超调量%和调整时间。,40,解：,1.,绘
16、制根轨迹步骤：（1）开环零点：,开环极点：,（2）实轴上的根轨迹为,（3）渐近线：,，,（4）分离点：,，,，,，,，,41,解得：,为分离点，,为会合点,分离角为,，会合角也为,，根轨迹如图所示:,42,当,时，特征方程为,即,整理后有,其解为：,所以，当,时，闭环极点为,，,，,。,43,2.当,时，有,由于,为闭环主导极点，所以可将系统降为一阶系统。,闭环系统无超调量，调整时间为,秒。,单位阶跃响应曲线为,44,二、已知系统如图所示,试求：系统闭环主导极点；由此闭环主导极点所决定的系统超调量,及调节,系统的误差系数,、,和。,（)；,时间,45,解：,闭环主导极点,1.,这时由于闭环零点在,处对,的影响很小，所以,可看作是主导极点。,2.,，,秒,，,46,3.,由于二阶系统是稳定的，所以存在,。,47,
