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1、1,本章主要教学内容数值积分法的基本原理及其主要内容快速仿真算法的基本原理及其主要内容离散相似法的基本原理及其仿真应用线性系统的仿真方法非线性系统的仿真方法采样控制系统的仿真方法,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,2,本章教学目的及要求掌握数值积分法和快速仿真算法的原理及应用掌握离散相似法的原理应用熟悉线性系统、非线性系统、采样系统的仿真处理过程,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,3,4.1 数值积分法 系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解的方法主要是数值积分法。设系统常微分方程为：（4-1）为包含有时间t和函数y的表达式，y0为函数y在初始时
2、刻t0时的对应初值。我们将求解方程（4-1）中函数 的问题称为常微分方程数值求解问题。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,4,4.1.1 欧拉（Euler）法1欧拉公式的推导 将式（4-1）在小区间上进行积分可得：,其几何意义是把,在,区间内的曲边面积,用矩形面积近似代替，如图4-1所示。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,5,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,6,当h很小时，可以认为造成的误差是允许的。所以有：,称之为欧拉公式。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,7,2.欧拉法具备以下特点：（1）欧拉法实际上是采用折线代替了实际曲线，也称之为折线法。（2）欧拉法计算简单，容易实现。由
3、前一点值仅一步递推就可以求出后一点值，所以称为单步法。（3）欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进行递推运算，不需要其它信息，因此它属于自启动模式。（4）欧拉法是一种近似的处理，存在计算误差，所以系统的计算精度较低。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,8,4.1.2 梯形法1梯形公式 为了弥补欧拉法计算精度较低的不足，可以采用梯形面积公式来代替曲线下的定积分计算，如图4-2所示。依然对式（4-1）进行求解，采用梯形法作相应近似处理之后，其输出为：,称为梯形积分公式。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,9,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,10,从中可以看到，在计算 时，其右端函数中也含有，
4、这种公式称为隐式公式，不能靠自身解决，需要采用迭代方法来启动，称之为多步法。可以先采用欧拉公式进行预报，再利用梯形公式进行校正。即梯形法的预报校正公式：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,11,2.梯形法具备以下特点：（1）采用梯形代替欧拉法的矩形来计算积分面积，其计算精度要高于欧拉法。（2）采用预报校正公式，每求一个，计算量要比欧拉法多一倍。因此计算速度较慢。（3）梯形公式中的右端函数含有未知数，不能直接计算左端的变量值，这是一种隐式处理，要利用迭代法求解。即梯形法不能自启动，要靠多步法来实现计算。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,12,4.1.3 龙格库塔（RungeKutta）法1
5、龙格库塔公式 二阶龙格库塔公式：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,13,四阶龙格库塔公式：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,14,2.龙格库塔法特点：（1）为单步法，并且可自启动。（2）改变仿真步长比较方便，可根据精度要求而定。（3）仿真计算量与仿真步长h的大小密切相关，h值越小计算精度越高，但所需仿真时间也就越长。（4）用泰勒级数展开龙格库塔法计算公式时，只取h的一次项，即为欧拉法计算公式；若取到h2项，则为二阶龙格库塔法计算公式；若取到h4项，则为四阶龙格库塔法计算公式。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,15,4.1.4 数值积分公式的应用【例4.1】已知一阶系统的微分方程为：
6、，初始条件，取仿真步长h=0.1，分别用欧拉法、梯形法和龙格库塔法计算该系统仿真第一步的值。,解：原方程可变为:,即,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,16,（1）用欧拉法计算 根据欧拉公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得该系统仿真第一步的值：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,17,（2）用梯形法计算：根据预报校正公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得仿真第一步的值。用预报公式求起始值：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,18,再用校正公式得到系统仿真第一步的值：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,19,（3）用二阶龙格库塔法计算 根据公式先计算出两个系数，再计算仿真第一步的值
7、：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,20,则系统仿真第一步的值为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,21,（4）用四阶龙格库塔公式计算根据公式先计算出4个系数，再计算仿真第一步的值：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,22,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,23,则系统仿真第一步的值为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,24,从上述结果可以看出:对于同一个系统进行仿真计算时，其值的精度是随着数值积分公式的变化而改变的，其中欧拉法计算精度最低，其次为梯形法和二阶龙格库塔法，四阶龙格库塔法计算精度最高。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,25,4.1.5 仿真精度与系统稳定性1.
8、仿真过程的误差（1）初始误差:现场采集数据不一定很准，会造成仿真过程中产生误差，称为初始误差。应对现场数据进行准确的检测，也可多次采集，以其平均值作为参考初始数据。（2）舍入误差:由于不同档次的计算机其计算结果的有效值不一致，导致仿真过程出现舍入误差。应选择挡次高的计算机，其字长越长，仿真数值结果尾数的舍入误差就越小。（3）截断误差:仿真步距确定后，数值积分公式的阶次将导致系统仿真时产生截断误差，阶次越高，截断误差越小。仿真时多采用四阶龙格库塔法，其截断误差较小。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,26,2.仿真过程的稳定性 计算结果对系统仿真的计算误差反应不敏感，称之为算法稳定，否则称算法
9、不稳定。对于不稳定的算法，误差会不断积累，最终可能导致仿真计算达不到系统要求而失败。（1）系统的稳定性与仿真步长的关系 一个数值解是否稳定，取决于该系统微分方程的特征根是否满足稳定性要求，而不同的数值积分公式具有不同的稳定区域，在仿真时要保证稳定就要合理选择仿真步长，使微分方程的解处于稳定区域之中。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,27,（2）积分步长的选择 由于积分步长直接与系统的仿真精度和稳定性密切相关，所以应合理地选择积分步长h的值。通常遵循两个原则：使仿真系统的算法稳定。使仿真系统具备一定的计算精度。一般掌握的原则是：在保证计算稳定性及计算精度的要求下，尽可能选较大的仿真步长。,第
10、4章,控制系统计算机仿真算法分析,28,由于工程系统的仿真处理采用四阶龙格库塔法居多，所以选择仿真积分步长可参考以下公式：时域内：；其中ts 为系统过渡过程调节时间 频域内：；其中 为系统的开环截止频率,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,29,4.2 快速仿真算法4.2.1 时域矩阵法 时域矩阵法是一种在时域内采用无穷矩阵进行系统仿真的算法，它每一步的计算量较小，而且与系统阶次无关，适合于系统的快速仿真。时域矩阵的概念 式中：Y 给定系统采样时刻的输出矩阵 G 时域矩阵 U 采样时刻的输入变量离散序列,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,30,2.时域矩阵的求取 根据系统的传递函数，经过拉氏
11、变换求出，再求出特定采样时刻的，即可组成时域矩阵G。3.求解闭环系统的动态响应 时域矩阵法求解闭环系统动态响应的基本思想是：在特定输入信号作用下，即R是已知的；而系统在前一时刻的采样值，即初始条件是已知的，这样即可求出ERC。在求出误差时间序列矩阵E以后，由系统给定的传递函数求其脉冲过程函数,再求出系统的时域矩阵G，最后利用C=GE求出系统的最终输出响应。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,31,4.时域矩阵法的特点（1）多用于采样控制系统，由于采用脉冲过程函数来计算系统的闭环响应，不会因系统阶次的增加而加大计算工作量，从而提高了仿真速度；但有时求解高阶系统的脉冲过渡函数会有一定的难度。（2
12、）由于每个采样时刻的 是准确计算出来的，所以采用时域矩阵法仿真时系统的采样周期（或仿真步距）可以选得大些。（3）时域矩阵法可推广到非线性系统的快速仿真。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,32,4.2.2 增广矩阵法 增广矩阵法是将系统的控制量增广到状态变量中，使原来的非齐次常微分方程变为一个齐次方程。基本思想:已知连续系统的状态方程为：其解为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,33,这是自由项强制项两个部分的组合。若把控制量u(t)增广到状态量中去，就可以变成齐次方程，然后再利用 求出其解为:,由于系数矩阵是可求出的，这就使仿真计算变成每次只作一个十分简单的乘法运算，从而提高了系统的仿
13、真速度。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,34,4.2.3 替换法 1.基本思想 对于高阶系统，如果能从它的传递函数直接推导出与之相匹配且允许较大采样周期T的脉冲传递函数，由此获得仿真模型，将会十分有利于提高仿真速度。相匹配的含义是指若 是稳定的，那么 也是稳定的，同时，输入相同外作用信号时，由 求出的响应和由 求出的响应具有相同的特征。如果利用s与z的对应公式，将中的s替换为z，求得的表达式，这种方法称为替换法。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,35,2.双线性替换公式（图士汀公式）双线性替换公式（图士汀公式）是从梯形积分公式中推导出来的，按此公式进行替换，可以保证的稳定性，同时也具
14、有较高的仿真速度。已知梯形公式为：,图士汀公式 为:,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,36,4.2.4 根匹配法1.基本思想 连续系统的动态特性取决于描述该系统的传递函数中的开环增益及零点分布。当系统传递函数为：,为了实现系统快速仿真，应构造一个，它允许较大的采样周期T，且能保证 在零、极点分布上与 一致，动态响应也一致，这种方法称为根匹配法。,（4-11）,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,37,即：,2.根匹配法的一般步骤 根匹配法应满足条件：具有相同数目的零极点；零极点相互匹配；终值应相等；具有相同的动态响应。根匹配法处理的一般步骤：（1）给定系统传递函数，转换为式（4-11）的形
15、式。（2）求出传递函数的零、极点。（3）利用映射关系映射到Z平面上。（4）按零、极点匹配的原则构造。（5）用终值定理相等的原则确定Kz。（6）附加零点的处理，即有nm个零点位于Z平面的原点。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,38,4.3 离散相似法 利用数字计算机对一个连续系统进行仿真时，得到的仿真结果实际上是各状态变量在计算步距点上的数值，也就是时间离散点上的数值，这等效于将一个连续系统看作是时间离散系统，为此，我们引入离散相似法的有关概念。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,39,4.3.1 仿真算法描述 所谓离散相似法，就是将一个连续系统进行离散化处理，从而得到与之等价的系统离散模
16、型，通常，此种方法是按系统的动态结构图来建立仿真模型。在计算过程中，可以按各典型环节离散相似模型的输入来计算环节的输出。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,40,1.典型环节的离散化模型,图4-5 连续系统模型的离散化,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,41,使用零阶保持器，可得到离散化状态方程的解：,若使用三角保持器，离散化状态方程解的形式为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,42,环节的离散系数为:,已知系统A、B系数矩阵后，可求出各环节的离散系数,，带入相应差分方程，再根据状态变量的初值，,就可以求出不同采样时刻的各状态变量数值。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,43,4.3
17、.2 典型环节的离散模型1.积分环节 积分环节的传递函数为：,环节离散系数为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,44,离散方程为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,45,2.比例积分环节比例积分环节的传递函数为：,环节离散系数为:,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,46,离散方程为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,47,3.惯性环节惯性环节的传递函数为：,环节离散系数为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,48,离散方程为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,49,4.比例惯性环节 比例惯性环节的传递函数为：,环节离散系数：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,50,离散方
18、程为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,51,4.4 线性系统仿真线性系统的数值积分法仿真 1.面向系统方程的仿真原理分析 采用数值积分法对系统进行仿真时，描述系统的数学模型通常可以用系统的微分方程或传递函数等形式，下面我们针对图4-6中所示的典型系统进行分析。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,52,图4-6 仿真系统模型结构,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,53,该系统的开环传递函数为：变换后的状态方程为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,54,在图4-6系统模型结构基础上，编制相应的仿真计算程序，将传递函数中的分子和分母多项式系数、输入输出变量初始值送入程序中，完成模型由传
19、递函数向状态方程的转换；再根据系统仿真的要求，分别输入仿真步长、打印间隔和次数、外部输入信号幅值等，然后，调用数字积分子程序完成仿真计算，最后将仿真结果送到指定的设备输出。该仿真工作过程及逻辑结构示意于图4-7中。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,55,图4-7 面向方程的线性系统仿真框图,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,56,2.面向系统结构图的仿真原理分析基本思想：把一个复杂的高阶线性系统化成由若干典型环节组成的模拟结构图表示；将各典型环节参数以及系统各环节的连接关系输入计算机；仿真程序将输入的系统模型自动转化为状态空间描述，即状态方程形式；调用数值积分法求解并输出仿真结果。（1）
20、典型环节的确定及算法描述：根据控制理论可知，在实际控制系统中比较常见的动态环节主要有以下五种：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,57,积分环节；比例积分环节；惯性环节；一阶超前（或滞后）环节；二阶振荡环节；5种动态环节中，一阶超前（或滞后）环节最具代表性，即选用 作为典型环节，可表示出其余常见的动态模型。面向结构图的线性系统仿真逻辑结构见图4-8。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,58,图4-8 面向结构图的线性系统仿真流程框图,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,59,4.3.2 线性系统的离散相似法仿真1.仿真原理及处理过程 采用离散相似法对线性系统进行仿真程序面向系统动态结构图；
21、按控制系统的环节离散相似原则建立仿真模型；系统中各环节之间的关系由连接矩阵、输入矩阵和输出矩阵表示；程序中规定采用4种典型环节，即积分环节、比例积分环节、惯性环节、比例惯性环节，其余环节可经过转换得到典型描述；输入各环节类型、参数、初值、连接矩阵等，可求出特定信号作用下各环节的输出结果。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,60,图4-9 面向结构图的线性系统离散相似法仿真框图,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,61,4.5 非线性系统仿真4.5.1 典型非线性特性1.饱和非线性常见的饱和非线性特性如右图所示：数学描述为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,62,计算饱和非线性特性的子程序
22、流程图：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,63,饱和非线性特性对系统过渡过程的影响主要有：（1）使系统的稳定性变好；（2）过渡过程时间增长，快速性能降低；（3）超调量下降，动态的平衡性有所改善。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,64,2.死区非线性 死区非线性特性如图所示。数学描述为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,65,计算死区非线性特性的仿真子程序流程图：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,66,死区非线性对系统性能的影响主要有：（1）增大系统的稳态误差，降低了定位精度；（2）延长过渡过程时间，使动态性能下降。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,67,3.滞环非线性滞环（
23、齿轮间隙）非线性特性见图所示。数学描述为：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,68,滞环非线性特性的计算子程序框图：,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,69,滞环非线性特性对系统的性能影响主要有：（1）增加系统静差，降低定位精度（2）在稳态值附近以某一幅度进行振荡，会产生自振，对系统的稳定性带来不利影响。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,70,4.5.2 非线性系统的仿真过程及应用 基本思想：给定非线性系统的线性环节传递函数、非线性特性和系统连接情况，按照典型环节的形式对线性部分进行编号，非线性特性从属于相应的线性环节，将系统中各环节的系数、变量初值、连接关系、仿真参数等数据置入程序中
24、，通过离散相似法处来解出该系统在特定函数作用下的动态响应性能。非线性系统离散相似法仿真的处理过程、逻辑结构示意如图4-17。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,71,图4-17非线性系统离散相似法仿真框图,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,72,4.6 采样系统仿真采样控制系统的算法描述1.系统差分方程的求解典型的数字采样控制系统结构如图所示。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,73,该系统中包含两种不同的环节，一种是数字化的控制器，可以方便地采用计算程序模拟，另一种是时间连续的受控过程，经过采样器和保持器与数字控制器相连。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,74,差分方程描述的就是离
25、散各量在采样时刻点上的相互关系和变化情况，因此当仿真步长取采样系统的实际采样周期T时，求取的结果无截断误差，从理论上说算法是精确的。该方法简便易行，只要已知D(z)、G(z)，就可以进行仿真处理。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,75,2.连续部分的离散化处理 当采样系统连续部分较复杂时，不必去化简和求取G(z)，只要按照连续系统环节离散化仿真方法，将连续部分中各环节经离散化处理后与采样部分一并考虑进行仿真。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,76,4.6.2 采样周期与仿真步距的关系 仿真步距的选择应根据被控对象的结构、采样周期的大小、保持器的类型、以及仿真精度和速度的要求综合考虑。通
26、常有以下3种情况：1.仿真步距T与采样周期Ts相等2.仿真步距T小于采样周期Ts3.改变数字控制器的采样间隔,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,77,4.6.3 采样系统的仿真应用 采样系统离散相似法仿真的处理过程、逻辑结构示意如图4-21。,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,78,图4-21 采样控制系统仿真框图,第4章,控制系统计算机仿真算法分析,79,本章小结,系统仿真是进行系统设计、分析和实验研究中经常采用的一门技术，它以模型实验代替实际系统进行仿真研究，通过计算机的处理获得实际系统在给定信号作用下的运行状况，从而对系统进行整体性能的分析和评价。数值积分法是利用计算机构造n次数值积
27、分运算来对系统微分方程进行数值求解，常用欧拉法、梯形法和龙格一库塔法等形式。欧拉法计算简单，容易实现，计算精度较低；梯形法采用预报校正公式，计算精度高于欧拉法；龙格库塔法改变仿真计算步长比较方便。不同的数值积分公式具有不同的稳定区域，仿真时要合理选择仿真步长，在保证计算稳定性及计算精度的要求下，尽可能选较大的仿真步长。,第4章,80,本章小结,离散相似法是将连续系统模型离散化为与之等效的离散模型，根据系统结构图，按典型环节离散相似模型进行处理，根据环节的输入求其输出，可对线性系统、非线性系统以及采样控制系统等进行仿真处理。实际工程中我们可以采用面向结构图的仿真方法，把一个复杂的高阶系统化成由若干典型环节组成的模拟结构图表示，将典型环节参数以及系统的连接关系输入计算机，仿真程序将输入的系统模型自动转化为状态空间描述，再调用数值积分法或离散相似法求解，可以研究某环节中的参数变化对性能的影响，也可获得整个系统的动态响应性能，最终输出仿真结果。,81,第4章内容到此结束,谢谢各位!,
