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1、一、数列极限的定义,二、收敛数列的性质,1.2 数列的极限,一、数列极限的定义,引例,如可用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.,A1,A2,A3,A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,.,显然n越大,An越接近于S.,因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.,数列,如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列举例:,2,4,8,2n,;,1,-1,1,(-1)n+1,
2、.,数列xn可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,xn,.,数列的几何意义,数列,如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),nN.,数列与函数,数列,如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.,例如,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列xn的极限,或称
3、数列xn收敛a,记为,数列极限的通俗定义,当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,分析,因此,如果 n 增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则数列xn收敛a.,数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式|xna|e都成立 则称常数a是数列xn
4、的极限 或者称数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限,极限定义的简记形式,0,NN 当nN时 有|xna|.,数列极限的几何意义,0,NN 当nN时 有|xna|.,存在 NN 当nN时 点xn一般落在邻域(a-e,a+e)外:,当nN时 点xn全都落在邻域(a-e,a+e)内:,任意给定a的e邻域(a-e,a+e),分析:,要使,只须 即,0,NN 当nN时 有|xna|.,证明:,因为0 当nN时 有,所以,分析:,证明,0,NN 当nN时 有|xna|.,要使,只须,因为0 当 nN 时 有,所以,分析:,例3 设|q|1,证明等比数列1,q,q2,qn-1
5、,的极限是0.,对于 0,要使|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|e+1就可以了.,|qn-1-0|=|q|n-1e,当nN时,有,因为 0,证明,N=log|q|e+1N,0,NN 当nN时 有|xna|.,对于某一正数e 0 如果存在正整数N 使得当nN时 有|xna|e 0 是否有xna(n),讨论,0,NN 当nN时 有|xna|.,二、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性)如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,按极限的定义,对于,0,存在充分大的,正整数,N,使当nN时,同时有,|,x,n,-,a,|,及,|,x,n,-,b,|,因此同时有,及,这是不可能的.所以只
6、能有a=b.,证明,注:如果M0,使对nN 有|xn|M,则称数列xn是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列xn是无界的,二、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性)如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,1 如果数列xn收敛,那么数列xn一定有界 发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?,2 数列1,1,1,1,(1)N1,的有界性与收敛如何？,讨论,二、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性)如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,二、收敛数列的性质,定理1(
7、极限的唯一性)如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,定理3(收敛数列的保号性)如果数列xn收敛于a,且a0(或a0)那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0),推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0)且数列xn收敛于a 那么a0(或a0),注:在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列.,定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a,例如 数列xn 1 1 1 1(1)n1 的一个子数列为x2n 1 1 1(1)2n1,1 数列的子数列如果发散,原数列是否发散?2 数列的两个子数列收敛,但其极限不同,原数列的收敛性如何?3 发散的数列的子数列都发散吗？,4 如何判断数列1 1 1 1(1)N1 是发散的？,定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a,讨论,总结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.,
