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1、2.1.2 数列的递推公式,1了解数列的递推公式,2能根据给出的递推公式求数列的前几项,递推公式,前一项an1(或前几项),如果已知数列an的第 1 项(或前几项)，且任何一项 an 与它的_间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,练习：已知数列an的第1项是2，递推公式为an1,1an1,，,则 a2_，a3_.,1,1数列的递推公式是 n 的函数的关系式吗？答案：数列的递推公式不是 n 的函数的关系式2通项公式与递推公式有何异同？,答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项不同：通项公式是 n 的函数的关系式，可直接求出任一项；而递推公式可根据第一
2、项(或前 n 项)的值，通过一次(或多次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项 an.,题型1,已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式,例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前 4 项，并推测数列的通项公式(1)数列an满足 an12an1，nN*，且 a11；,(2)在数列an中，a11，anan1,1n(n1),(n2),数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归纳的前提,【变式与拓展】1根据递推公式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公式：(1)a10，an1an(2n
3、1)(nN*)；,(2)a11，an1,2anan2,(nN*),解：(1)a10，a2a111，a3a234，a4a359，a5a4716.由a102，a212，a322，a432，a542，可归纳出an(n1)2.,题型2,已知递推公式，用累加法求通项公式,例2：已知在数列an中，a15，anan13(n2)，求数列an的通项公式思维突破：先对anan13 从2 到n 进行取值，得到n1 个式子，再把这n1 个式子相加，消去中间项自主解答：由递推关系 anan13(n2)，得a2a13，a3a23，,若数列有形如an1anf(n)的递推公式，且可求 f(1)f(2)f(n)，可用累加法求通
4、项公式,an1an23，anan13.将以上(n1)个式子左右两边同时相加，得a2a3an1ana13a23a33an13，消去a2a3an1，并整理，得ana13(n1)a15，an3n2.,【变式与拓展】,2已知在数列an中，a11，anan1cos(n1)(n2)，,求 an.,解：由递推关系，anan1cos(n1)(n2)，得a2a1cos，a3a2cos2，an1an2cos(n2)，anan1cos(n1)，将以上(n1)个式子左右两边同时相加，得a2a3an1ana1cosa2cos2an2cos(n2)an1cos(n1)，,题型3,已知递推公式，用累乘法求通项公式,例3：已
5、知a12，an12an，求an.思维突破：对an12an从 1 到n1 进行取值，得到n1个式子，再把这 n1 个式子相乘，消去中间项,【变式与拓展】,3.设an是首项为1的正项数列，且满足关系：an3an1(n,N*)，求数列an的通项公式,例4：根据图 211 中的框图，建立所打印数列的递推公式，试写出这个数列的前 4 项，并归纳出递推公式,图 211,易错点评：没有准确把握相邻两项(即an1 与an)之间的联系和区别,1数列的递推公式是数列的另一种给出方法，注意它与通,项公式的区别及其用法,2递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，解题时要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，通过适当的策略将问题进行化归，是迅速求出通项公式的关键,
