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1、马殿富,数字图像处理傅里叶变换,1768-1830,2,变换问题的引入,频率域 幅值与频率,空间域 灰度,3,数字图像正交变换,傅里叶变换沃尔什变换哈达玛变换离散余弦变换K-L变换小波变换,4,傅里叶变换,傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字图像之类的数字化系统，把傅里叶变换的理论与物理解释相结合，将有利于解决大多数图像处理问题。,5,幅值频率,波形,如何表示？,6,一维基函数,二维基函数,欧拉公式,7,一维傅立叶变换定义,设 x(n):x(0),x(1),x(N-1);X(m):X(0),X(1),X(N-1)是数字序列，则序列x(n)的傅立叶变换生成序列X(m)
2、表示如下：,正变换,反变换,8,x(n)是输入函数，X(m)是输出函数，N=8,函数W周期为N=8,9,二维傅立叶变换定义,图像矩阵实数,频域矩阵复数,10,二维傅立叶变换定义,设 f(x,y):f(0,0),f(0,1),f(0,N-1),f(1,0),f(1,1),f(1,N-1),.f(N-1,0),f(N-1,1),f(N-1,N-1),是数字矩阵 F(u,v):f(x,y):f(0,0),f(0,1),f(0,N-1),f(1,0),f(1,1),f(1,N-1),.f(N-1,0),f(N-1,1),f(N-1,N-1),是数字矩阵则f(x,y)的傅立叶变换生成F(u,v)表示如下
3、：,正变换,反变换,变换对,11,二维傅立叶变换,傅立叶变换：F(u,v)=|F(u,v)|ej(u,v)傅立叶谱：|F(u,v)|=R2(u,v)+I2(u,v)1/2相位(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)能量谱:E=|F(u,v)|2,12,13,二维傅立叶变换,傅立叶谱：|F(u,v)|=R2(u,v)+I2(u,v)1/2,相位:(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v),14,15,16,二维傅立叶变换示例(1),17,二维傅立叶变换示例(2),18,19,20,21,22,傅里叶变换示例,23,傅立叶变换示例(1),图像中的周期性噪声产生了变换中的尖峰信
4、号,24,幅值与相位,25,傅立叶变换示例(2.1),幅值谱,幅值重构图像,相位重构图像,相位谱,26,傅里叶变换性质1 可分离性,二维傅里叶变换可以分离为一维傅里叶变换处理,27,傅里叶变换性质1 可分离性,图像,横向,纵向,28,傅立叶变换性质2 周期性,如果f(x,y)F(u,v),则,29,傅立叶变换性质3 平移性,30,傅立叶变换性质3 平移性,如果f(x,y)F(u,v),则f(x,y)expj2(u0 x+v0y)/NF(u-u0,v-v0)f(x-x0,y-y0)F(u,v)exp-j2(ux0+vy0)/N,u0=N/2 v0=N/2expj2(u0 x+v0y)/N=exp
5、j2(N*x+N*y)/2*N=expj(x+y)=(-1)(x+y)f(x,y)*(-1)(x+y)F(u-u0,v-v0),31,傅立叶变换性质4 共轭对称性,如果f(x,y)F(u,v),F*(-u,-v)是共轭复数，则F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F*(-u,-v)|,32,傅立叶变换性质5 旋转,33,34,傅立叶变换性质5 旋转,设f(x,y)F(u,v),35,傅立叶变换性质6 线性,如果f1(x,y)F1(u,v),f2(x,y)F2(u,v),则,af1(x,y)+bf2(x,y)aF1(u,v)+bF2(u,v),36,傅立叶变换性质7 比例性,如果f
6、(x,y)F(u,v),则,37,傅立叶变换性质7 平均值,38,傅立叶变换性质拉普拉斯算子,如果f(x,y)F(u,v),并且2f(x,y)=2f(x,y)/x2+2f(x,y)/y2,则 2f(x,y)=-(2)2(u2+v2)F(u,v),39,卷积定义,一维卷积定义：,二维卷积定义：,40,卷积示例(1.1),f(x)和g(x)作卷积,折叠平移形成函数g(x-),41,卷积示例(1.2),f()和g(x-)乘积,结果,42,卷积示例(2),函数f(x),冲激函数g(x),f(x)*g(x)，原样复制,43,卷积示例(3),折叠,平移,乘积,44,卷积定理,如果f(x,y)F(u,v),
7、g(x,y)G(u,v)则f(x,y)*g(x,y)F(u,v)G(u,v)许多图像变换是卷积运算在频域的乘积运算比在空域的卷积运算快，特别是有了快速傅立叶变换以后，效果更加明显。,45,相关定义,一维相关定义：,二维相关定义：,46,相关定理,如果f(x,y)F(u,v),g(x,y)G(u,v)则f(x,y)g(x,y)F(u,v)G*(u,v)相关主要应用于模板和原型匹配给定一个未知图像和已知图像集之间求最紧密的匹配。其基本途径是求相关，然后取相关函数最大值。,47,能量(Rayleigh)定理,能量定义能量定理,48,快速傅立叶变换(1),1850年，高斯给出了DFT有效算法1942年
8、，丹尼尔森证明了一个界长为N的傅立叶变换可以由两个界长为N/2的傅立叶变换表示。1964年，库利-图基给出了快速傅立叶变换算法,49,快速傅立叶变换(1),计算复杂性：N乘法，N(N-1)加法,50,快速傅立叶变换(2),W是周期为N的周期函数W=cos(2/N)-j sin(2/N)W(m+kN)(n+lN)=Wmn,51,快速傅立叶变换(3),库利-图基给出了快速傅立叶变换算法x1(n)=x(2n)n=0,1,(N-1)/2x2(n)=x(2n+1)n=0,1,(N-1)/2,52,快速傅立叶变换(4.1),由傅立叶变换定义,53,快速傅立叶变换(4.2),因为,因为周期性，所以对于所有的
9、m，有,54,快速傅立叶变换(4.3),乘法,经过一系列的分解2,4,8.N/2,计算复杂性：N log2 N,55,快速傅立叶变换5,FFT碟式流程图算法,56,快速傅立叶变换6 FFT碟式流程图算法,迭代次数r确定对偶节点的计算加权系数 的计算重新排序,57,FFT碟式流程图算法(1),迭代次数r确定r=log2 N 注意：数据类型转换,58,FFT碟式流程图算法(2),对偶节点的计算节点l是迭代次数，k是流程图的行数 的对偶节点是,FFT碟式流程图算法(3),60,FFT碟式流程图算法(4),加权系数 的计算：确定p(1)把k值写成r位二进制数(2)把这个二进制数右移r-l位(3)二进制
10、数按比特位倒转(4)倒转后的二进制数变为十进制数,61,FFT碟式流程图算法(5),求k=2,l=2,N=8的加权系数 的计算：确定p(1)把k值写成r位二进制数：010(2)把这个二进制数右移r-l=1位：001(3)二进制数按比特位倒转：100(4)倒转后的二进制数变为十进制数：4,62,FFT碟式流程图算法(6),如果节点xl(k)的，则xl(k)的对偶节点为。xl(k)=xl-1(k)+,63,FFT碟式流程图算法(7),重新排序(1)将节点xl(k)的k变为二进制数 xl(k)=xl(kr-1kr-2k0)(2)将二进制数按比特位倒转 xl(k)=xl(k0k1kr-1)(3)将二进制数变为十进制数，即为重新 排序位置,64,FFT碟式流程图算法(8),x3(0)x3(000)x3(000)x3(0)x3(1)x3(001)x3(100)x3(4)x3(2)x3(010)x3(010)x3(2)x3(3)x3(011)x3(110)x3(6)x3(5)x3(101)x3(101)x3(5)x3(6)x3(110)x3(011)x3(3)x3(7)x3(111)x3(111)x3(7),65,
