数学建模的思想和方法.ppt

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1、数学建模的思想和方法,主讲人：杨树国,1.1 从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模,1.数学建模的思想和方法,2.数学建模竞赛的的思想和方法,2.1 参赛目的和原则 2.2 数学建模队伍的组织2.3 建模竞赛的步骤和方法 2.4 注意事项,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,1.1 从现实

2、对象到数学模型,启示：很多同学，尤其是非数学专业的同学，把数学建模看得很神秘，总以为它高深莫测，其实并非如此。实际上，数学建模就是发生在我们身边的事情，可能你不经意间就在进行着数学建模和求解，只不过你不知道罢了。可以毫不夸张地说：数学建模无时不在，无处不在!,数学建模无时不在，无处不在!,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.,航行问题:甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x=20y=5,数学建模无时不在，无处不在!,航行问题求解过程分析:,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量

3、（x,y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20,y=5）；,回答原问题（船速每小时20千米/小时）。,在解决这个问题的过程中，我们经历了如下的步骤：,实际上，上述过程就是数学的建模和求解过程，连这样的小问题都是数学建模的问题，那么关于数学建模的广泛性和普遍性，大家就可想而知了。,数学模型和数学建模,对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型(Mathematical Model)

4、,数学建模（Mathematical Modeling),1.2 数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。,在一般工程技术领域数学建模大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,如虎添翼,1.3 数学建模示例,1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗?,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一

5、样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,f(),g()是连续函数,对任意,f(),g()至少一个为0,数学问题,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(

6、0)=g(0)=0.,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()g(),则h(0)0和h(/2)0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()g()=0,所以f(0)=g(0)=0.,评注和思考,建模的关键:,和f(),g()的确定.,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,1.3.2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),3名商人 3名随从,随从们

7、密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策:每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求:在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,Xk-第k次渡河前此岸的商人数,yk-第k次渡河前此岸的随从数,xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)-过程的状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S-允许状态集合,uk-第k次渡船上的商人数,vk-第k次渡船上的随从数,dk=(uk,vk)决策,D=

8、(u,v)u+v=1,2-允许决策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,-状态转移律,求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法-编程上机,图解法,状态s=(x,y)-16个格点,-10个点,允许决策-移动1或2格;k奇,左或下移;k偶,右或上移.,s1,sn+1,d1,，d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,允许状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,背景,年 1625 1830 1930 1960

9、1974 1987 1999人口(亿)5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,1.3.3 如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,x(t)-时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口x0,年增长率r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口

10、统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r-固有增长率(x很小时),xm-人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)-S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国

11、人口数据（单位-百万）,专家估计,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,把模型计算结果 与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用-预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,x(2010)=306.0,阻滞增长模型(Logistic模型),数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。我们所指的建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分

12、析确定模型参数,1.4 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个比较清晰的问题,模型假设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模型构成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析,模型分析,模型检验,与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数

13、学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,1.5 数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,应用领域,人口、交通、经济、生态,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计,表现特性,描述、优化、预报、决策,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离

14、散和连续,数学模型的分类,1.6 怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,2.数学建模竞赛的的思想和方法,全国大学生数学建模竞赛是由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向大学生的课外科技活动,是全国高校规模最大的课外科技活动之一,居教育部四大学科竞赛之首。本竞赛在每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可

15、参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。2008 年全国有31个省/市/自治区(包括香港)1023所院校、12846个队（其中甲组10384队、乙组2462队）、3万8千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的一次！可以说，大学生数学建模竞赛是我国高等教育改革的一次成功实践。,2.1 参赛目的和原则,提高对数学知识应用性的认识提高对专业知识应用性的认识培养应用能力和探索精神培养创新意识和创新精神提高独立解决问题的能力提高分析问题解决问题的能力培养团队精神培养编程能力 提高表达及写作能力,参赛目的,参赛原则,继承和创新相结合的原则理论与实践相结合的原则普遍和特殊

16、相统一的原则分工和合作相统一的原则,2.2 数学建模队伍的组织,组队时，要统筹兼顾，充分利用现有的师生资源。既要考虑到每个队伍中学生的年级情况，又要考虑到其学生的学习情况、专业背景等，一般来讲，三个学生最好来自不同的专业，每个队伍中既要有理论知识雄厚的学生又要有编程能力较强的学生，既要有精通理工科知识又要有文笔出众的学生，对于教师亦是如此，既要考虑到教师的经验和能力，又要考虑到教师的年龄和体力，既要考虑到与学生的熟悉和默契程度，又要考虑到师生的专业，保证师生资源的合理配置，使师生资源能够最大地得到利用，确保参赛队伍具有很强的战斗力。,2.3 数学建模竞赛的步骤和方法,数学建模竞赛一般在每年9月

17、中旬举行(某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时。周一上午在网上递交电子版的竞赛论文）。2009年数学建模竞赛定于9月11日上午8：00开始，赛题将同时在全国大学生数学建模竞赛、高等教育出版社和中国数模以及数学中国等网站发布。(1)选题 拿到赛题后，学生和指导教师要一起来分析和研究各个赛题，要根据各赛题的难易程度和知识成分并结合本队学生的知识特点和特长来进行选题。(2)赛题分解 对赛题进行必要的分解，然后根据学生的专业、知识结构和能力进行合理的分工，谁干什么，怎么干，都要心中有数。要有主要负责建模的，主要负责编程的，主要负责写作的。但切记分工是相对的，合作是绝对的，怎么配合，怎么互相帮助

18、，事先都要有充分的考虑。,(3)查阅资料 在开始解决各个问题之前，所有学生都必须要先查阅资料，只有掌握具有针对性的第一手资料、阅读和理解了资料，工作才能进行下去。查阅资料时，可以利用goole和baidu等搜索引擎搜索相关网页，也可以通过校园网图书馆内电子资源中的CNKI数据库，维普科技期刊，万方数据等数据库来查找相关的期刊论文和学位论文。(4)分题求解 一般每个问题都包括建立模型、编程求解和答案书写等三个部分，建模时,三个学生要合作，要一起来进行思考和分析，搭建出模型的基本框架，然后把具体的细节问题交给负责建模的学生，此时负责编程的学生要基本上了解模型的结构，对于一些问题如包括哪些变量、变量

19、之间的关系如何、要采用什么样的算法来求解等等都要心中有数，并且开始动手编程，负责写作的学生要把问题分析、模型假设、符号说明等框架写出来。,(4)模型的验证和修改 建立模型、制定算法、编程求解后，一般来说，所得到的结果与问题的实际理想值都会有一定的出入，甚至有时所得的结果非常离谱，简直不可思议。此时一定不要慌，大家要集中起来认真分析，一个问题一个问题地去排除，如可以先检查一下模型是不是有问题，是不是在建模的时候有些因素没有考虑到；如果模型没有什么问题，那么再检查一下程序编写得是不是有问题等等，一个正确模型的建立，肯定不会一蹴而就的，要经过不断的修改和反复验证，直至与问题相符合为止。,（5）论文成

20、稿与修改 常言道：“编框编篓，全在收口”，一个模型建立的好坏固然很重要，但是最后论文的书写也非常重要，要注意用标准的数学语言来进行表述，各个问题的解答基本上都要包括这样几个部分：问题分析，问题假设，符号说明（通用的符号在前面统一说明，具体各分题的符号在各个问题解答之前说明）等等，每个问题的叙述都应具有独立性和自含性，即阅卷人单独阅览某个问题时不需要阅读全文，就能获得该问题必要的信息。整篇论文要内容完整，论点鲜明突出，论据充分确凿，论述条理清楚，分析透彻，具有说服力；整个推导过程要严谨，实验曲线、模拟结果和结论正确；要语言准确，语句通顺，行文流畅，叙述简明扼要，层次清晰，结构严谨；撰写规范，格式

21、正确，曲线的线条要均匀清晰、整洁美观，问题分析假设、建立模型等各栏目齐全、合理，没有遗漏项目。一篇好的论文要经过不断的修改才能最终定稿、上交。,2.4 注意事项,(1)选题要慎重 一般来讲，选好了赛题后，除非万不得已，不要轻易换题，因为每个竞赛试题都有很大的难度，在规定的时间内完成任务，压力很大、时间很紧张、基本上都不够用，半道换题就不更用说了。(2)资料要充足 很多学生不喜欢查资料，上来就开始进行赛题的分析和研究，要时刻牢记：兵马未动、粮草先行。资料就是我们的粮草！我们的第一个任务就是要查阅大量的资料。,(3)要合理分配时间，解答过程要全面 各个问题的解答基本上都要包括问题分析，问题假设，符

22、号说明，建立模型，模型求解，模型验证等几个部分，有很多学生把工作的重点都放在了前一两个问题，对后面问题的建模和求解不太重视，当然由于时间的原因不得不放弃的另当别论。要记住：评卷人要看你对整个赛题的建模和求解。这就要求学生们要合理分配时间，不要把眼睛仅盯在一个两个问题上，要搞好平衡。(4)要写好摘要 摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。,(5)参考文献 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表述方式

23、在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，引用书籍还必须指出页码。(6)网上答案 很多人在建模赛题发布后的不长时间，就把自己对问题的理解甚至是求解发布到网上去，我们参考有关专家的一些解惑是可以的，但是对于一些人的思想和做法我们要慎重吸取，大家可以想想：如果真的是正确的答案，他会发到网上么？所以网上的很多东西都是似是而非，但往往就是这些东西干扰了我们的思路，浪费了我们的时间，所以要想在网上获得答案投机取巧的做法是万万不可行的，要静下心来，苦心钻研，走出一条属于自己的路，那样才能成功。,(7)分工与合作 我常常发现，有些学生在别人苦心钻研的时候自己去放松了，上外面溜达或者玩游戏，一问他为什么不干了，他说他分派的任务完成了，这种做法实在有些不妥！因为建模竞赛是三个人的事情，这里的工作量根本没有办法完全平分，怎么分工都不可能做到完全公平，没法用多少来衡量，实际上哪个活都是大家的活，没有绝对的分工，只有绝对的互相帮助，一个缺乏合作精神和甘于奉献的队伍，是不可能成功的。,祝大家合作愉快，马到成功！,