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1、微积分初步期末复习资料一、单项选择题1 .函数y =一 +InX的定义域为(D )X 4A. x0 B. x4 C. xO且xl D. xO且x42 .函数/(x) = Inx在点x = e处的切线方程是(C ).A. y = -x+i B. y = -x-l ee3.下列等式中正确的是(D )A. sinzr = J(cosx)C. axdx = d (ax)4.下列等式成立的是(A )1C. y = -xD. y = -x-e + B. lnzr = d(!) D. -= dx = dA () = (x) B, fx)dx = fx)C. djx)dx = fx) D, (x) = (x)
2、5 .下列微分方程中为可分别变量方程的是(B )dydydydy (、A.- = +yB.- = y+yC.- = xy + SnxD. = (y + dxdxdxdx6 .下列函数为奇函数的是(D )A. xsin X B. Inx C. x+x2 D. In(X+J1 +d)Px + 1 Y 07 .当A= ( C )时，函数f(x) = 4在X = O处连续.k, x = 0A. 0 B. 1 C. 2 D. e+8 .函数丁 =炉+1在区间(_2,2)是(B )A.单调下降B.先单调下降再单调上升C.先单调上升再单调下降D.单调上升9 .在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4)
3、的曲线为(A )A. y = X2 + 3 B. j = x2+4 C. y = x2 +2 D. y = 2 +110 .微分方程y = y, y(0) = 1的特解为(C )A. y = 0.5x2 B. y = ex C. y = ex D. y = e + l11 .设函数y = xsinX,则该函数是(B )A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数- -4-1 r O12 .当女=(A )时，函数/(x) = 4在X = O处连续.k, x = 0A. 1 B. 2 C. -1 D. 013 .满意方程r) = o的点肯定是函数/(力的(C )A.极值点B.最值点C.驻
4、点D.间断点14 .设“X)是连续的奇函数，则定积分J：/(Xg= ( D )A. 2 f(x)dx B. J fxdx C. f(x)dx D. 015 .微分方程y = y + 1的通解是(B )A. y = ecxi B. y = Cex -1 C. y = +C D. y = 2 +C16 .设/(x+l) = x21,则/(X)= ( C )A. X(X+1) B. X2 C. X(X2)D. (x+2)(x-1)17 .若函数/(x)在点与处可导，则(B )是错误的.A.函数/(x)在点/处有定义 B. Iim/(x) = A ,但AW/(/)ATC.函数“力在点/处连续 D.函数
5、(x)在点用处可微18 .函数丁 =(工+ 1)2在区间(一2,2)是(D )D.先单调削减后单调增加D. (x + l)(x) + cA.单调增加B.单调削减C.先单调增加后单调削减19 . ,*(x)0 = (A)A. xfx)-fx) + C B. fz(x)C C.20,下列微分方程中为可分别变量方程的是(A. = x+y B. = xy + y C. - = t+ sin% dxdxdx9x + Tx21 .函数/(X)=-的图形关于(C )对称A. y = x B. X轴C. y轴D.坐标原点cjr V22 . /(X)= -IS ( D )时，“力为无穷小量。 XA. -K20
6、B. x- C. x0 D. xl23 .下列函数在指定区间(Yo上单调增加的是(B )A. sinxB. 2x C. x2 D. 5-2x24 .若(2x+A)d = 2，则欠=(A)A. 1 B. -1 C. O D. - 225 .微分方程中y = y的通解是(C )。A. y = ecx B. y = cex C. y = cex D. y = e* + c26 .函数/(X)=,广 、的定义域是(C ) ln(l + x)A. (-2, +OO)B . l,oo) C.2,-1)/ 1,) D. (-1,0) (,oo)元 2 + 1 X O27 .当Z= ( B )时，函数在X =
7、 O处连续。,x = OA.0 B.l C.2 D. -128 .下列结论中(D )不正确。A.若“X)在,句内恒有r(MZr = (x) D, f(x) = (x)30 .下列微分方程中为可分别变量的是(C )A.虫= x + y B. - = x(y + x) C.虫= jty+y D. = xy + sinx dxclx v f dxdx二、填空题1.函数/(x+2) = f+4+5,则/(X)=() x2 + l2,若函数/(M = -SInl+攵，* ,在X = O处连续，则A=()7-1,X = O3.曲线/(x) = +l在(0,2)点的斜率是(4. (5x3 - 3x + 2d
8、x= ()45.微分方程r + (yy + y4=o的阶数是()36 .函数/(7=m(：_2)的定义域是(1. sinx、八7 . Iim= ()0XT8 Ix8 .己知/(6 = d+31 则，=(9 .若 J de* = () ex + C)(2,3) j3,+)27(l + ln3)10.微分方程(7+4个=旷而4的阶数为()411 .函数为(X)= /1 的定义域是()(-2,2)4-x2Sin 4 V12 .若Iim把铝=2,则欠=()2XTo k13 .已知X) = InX,则/(力=() 一指14 .若 JSinMr= () -cosx+C15 .微分方程r+(y)4=*y的阶
9、数是()316.函数/(x)=, J -+”一/的定义域是(In(X+2)(-2,T)J(T217.函数/(x)hS11 JLx工0在 = 0处连续，则R= ()1k, X = O18 .函数y在点(1,1)处的切线方程是()=；工+ ；19 . (sinx)d= () sinx+C20 .微分方程()3+4孙侪=*由工的阶数是()321.函数x-l) = f-21一5,则/(X)=() X2-622. /(x) = sn + Q在X = O处连续，则Z=() 1l,x = 023 .曲线y =6+1在点（1,2）处的切线方程是（）；24 .若 j（x）tir = xlnx+C ,则:（五）=
10、（）X25微分方程（）3 + /4）011n=寸%2的阶数为（）426.若/(x-l) = 2-2x+2,则/(X)=X2+1,1I 328 .曲线y = x 2在(1,1)处的切线方程是 y = -x+-29 . J(SinX) dx=SinJV+C30 .微分方程f + ()4sin X = ex+y的阶数是 3三、计算题1.计算极限IimX2 2x 3X2-9r2-2r-3 解：lim JAXf3 X2 -91. x+1=Iim3 + 127 + 3 3 + 3 3求y解：y)+曾Q (mj4=42x+1 X3.I 11 I1解:Jexdx = -J exd - - -ex C4 .计算
11、定积分2 XCOS X公 解:Xcosxt/r = 2 xesinx = xsinxJ -FSin zx-(-COSx)J=y-l5 .计算极限Iimk13工+2-r2 X- +x-6btn r f31 + 2解：Iim ；= IimXf2 z +-612x-1 2-1 1(1)(%2)二而(x-2)(x+3) Z2工+3 2 + 3 56.设 y = x2ejc,求 y,解：y=(j+2=2xex + x2ex工 J. 1,L2xex -x2ex = 2xex -ex =(2x-)ex7.计算不定积分(2x-1)%解:：(2x-l),0 = (2x-l),0J(2x-l) = (2x-l)1
12、1,+c解： xexdx =xdex = xex -1Oexd = e-ex =e-(-l) = l I MrAXI PCI 1 X - 3x + 29.计算极限Ilm,2 .r -4解:2 X2-42 (-2)(x+2)=Iimx-1 2-1 1f2 x+2 2 + 2 410.设 y = sin5x + cosx,求 y解:y, = (sin5x) +(cos3 x) =5cos5x + 3cos2 x(cosx)= 5cos5x-3cos2 xsinx计算不定积到哈解:JfclfU = 2(1 + &”(1 + 6)=|(1 + 司+0或者J匕袈2= 2j2 + 2 +五卜2+卜=46+
13、4/ + ：/ 十。12 .计算定积分J。； Sinxt及解：IWSinA= - ；J；XdCOSX = -g卜CoSXe -cosxdx=TF_sinx|：) = x2 -913 .求极限Iim=3 x2-2x-3班7、1- (x + 3)(x-3)+3 3解： 原式=hm777 = Iim=(x + l)(x-3) 71+1 214.已知函数y = Inx +sin ,求dy X15.COS- 计算不定积分JF公解:= -sin- + C16 .计算定积分J； xln &伙解：lnxdr =-X2 InX|； -dx = -e2 -e2 +- = -e2 + Jl 2, 2jl X 244
14、 44,.a. .7 0 1. 6x+817 .计算极限IlmF,4 X -5x + 4取 r x2-6x+8 r (x-4)(x-2)-2 4-2 2解：hm-3=Ilm)， = IIrn=-x4 x2 -5 + 4 4 (x-4)(x-l) 4 x-14-1 318 .设 y = 2x + sin 3x ,求 dy解：y, =(2r) +(sin3x) = 2 In2 + 3cos3xdy = y,dx =(2X ln2 + 3cos3,dx19 .计算不定积分JXCoSMk 解：JXCoSAZZr = JAZzSinX = XSinX-JSinjra = XSinX+ cosx+c”1
15、+51nx20,计算定积分J+5工公d = it(l + 51nx)f(l + 51nx) = (l+51nx)J=(l + 51ne)2-(l + 51nl)2 =-10v7 IOv 72四、应用题1.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?1 HQ解：设长方体底边的边长为X,则高力=若X2主 kt0 zl 1082 432表面积 y = - +4xh = x +4x- = x+ XX432所以 y = 2x-1X令y = 0得 = 6 （唯一驻点）由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为6,高为3时用料最省。2.欲做一个底为正方形，容积为32立方
16、米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为X,则高力=当X主4 320 128表面积 y = JT +4xh = x- +4x- = x + JrX1 OQ所以 y = 2x-: X令y = 0得戈=4 （唯一驻点）由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为4,高为2时用料最省。3.用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接 费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低费用是多少？4解：设水箱底边的边长为X，则高2 = fX2表面积 y = x2 + 4xh = X2 + 4x- = X2 + XX所以 y = 2x-二Jr令y
17、 = 0得为=2 （唯一驻点）由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为x = 2,高为 =1时表面积最小。此时的费用为y(2)xl0 + 40 = 160元。4.1. 用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这 块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为大 ,另一边长为丝，则共用材料XC C 216 C 432j = 3x+2= 3x +XX432所以y = 3- X令y = 0得X = T2 (舍)，X = I2 (唯一驻点)由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当土地一边长为12,另一边长为18 时用料最省。5.设
18、矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少 时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为X,另一边旋转轴为A 2 = 60-X2则旋转成的圆柱体体积为y = x2(60 - x) = (60x2 -x3)故 y = r(120x-32) = 37Jv(40-x)令y = 0得X = O (舍)，x = 40 (唯一驻点)由实际问题知，唯一的驻点即最大值点，所以当一边长为40厘米，另一作为旋转 轴的边长为20厘米，此时旋转成的圆柱体体积最大。微积分初步复习题1、填空题(1)函数/*)= !的定义域是.In(X-2)答案：x2且x3.(2)函数F(X) =
19、+的定义域是ln(x + 2)答案：(-2-l)u(-1,2(3)函数/(x + 2) = %? + 4x + 7 ,则 f(x) =答案：/() = x2+3(4)若函数/(x) = YSinl+ 1 0(16)若/(x)的一个原函数为InX2,则f()=.2答案：-X(17)若J/(x)dx = Sin2x + c,则 f(x).答案：2cos2x(18)若 JCoSJok=答案：SinX+c(19) Jde-J=.答案：e3+c(20) J(SinXydX=.答案：SinX+c(21)若/(x)dx = F(x) + c,则Jf(2x-3)dx=.答案：-F(2x-3) + c 2(22
20、)若 J/(x)dx = F(x) + c,贝J J*(l-2)d =.1 ,答案：一一F(1-x2) + c 2(23) (sin xcos 2x-x2 + x)dx =.2答案：-；3(24) f ln(x2 + l)dr =.dxj,答案：0(25) &二.答案：g2,且曲线过(4,5),则该曲线的(26)已知曲线y = f(x)在随意点X处切线的斜率为方程是.答案：y = 2Jx +1(27)由定积分的几何意义知，J；VTMm. . Tca1 答案：4(28)微分方程y = y, y(0) = 1的特解为.答案：y = ex(29)微分方程/ + 3y = 0的通解为.答案：y = c
21、eF(30)微分方程(y) + 4x4j=sinx的阶数为.答案：42.单项选择题(1)设函数y = e X；。，则该函数是().A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 答案：B(2)下列函数中为奇函数是().+ e/A. xsinxB. C. ln(x+ lx2) D. x + x2答案：CY(3)函数y =+ ln* + 5)的定义域为().x + 4A. x-5 B. x-4 C. x-5且x0 D. x-5且XW-4 答案：D(4)设/Cr + ) = /- 1,则f(X)=(). x(x +1)B. X2C. x(x- 2)D. (x + 2)(x -1)答案：C
22、(5)当k=()时，函数/(x) = a +2 X在X = O处连续.k、X 0A. 0 B. 1 C. 2D. 3答案：DJC2 4- 1 Xw 0(6)当Ic=()时，函数/) = 1一 dx1 X答案：D(21)微分方程y = 0的通解为(D. j (x2 sinx)dr则定积分：/(幻口=()(x)dx D. 2 f(x)dx JOJa).r+8 1B. I -j= dxjl 7D. f e-2vdr JO).d.dvA.CD. y = 0(1) Iimx2x2 -3x +2x2-4A. y = Cx B. y = x + CC. y = C答案：C(22)下列微分方程中为可分别变量方
23、程的是()C dy=+ y ；B. = xy + ；dx=xj + sinx;D. - = x(y + x)dx答案：B3、计算题解:Iim -二3x + 2 = lim (a2XD = Iim x-_ = j_ 12 X2 -42 (x-2)(x + 2) T + 2 4x2-9(2) Iim .f 3 x- -2-3AzJ . x2 -9 r (x-3)(x + 3) 1. x + 3 6 解：hm；= Iun- - = Iim =-v3 X2 -2x-3 x3 (x-3)(x +1) z3+ 4x 1. x 6x + 8(3) Iim -1 i -5x + 4解：Iim =-6x + 8
24、 -IimC4)(.2)- Iim2 = 24 x2 - 5 + 4 4 (x-4)(x-1)v4 X -13 (4)设 y = e ,求 y .Il1I解：y, = 2xex + X2 ex(-)=er(2x-1) X(5)设y = sin4x + cos3,求y.解：y, = 4cos4x + 3cos2 x(-sinx)=4cos4x- 3sin xcos2 x(6)设y = e77+4,求)，.X解：V = eG1J=-4 2(x+l %(7)设y =/V7 + lncosx,求y.解：y, = -X2 +(-sinx) = -x2 - tanx2 cosx2(8) (2x-l)10d
25、x解：(2x-l)10dr = (2x-l)10d(2x-1) = (2x-1) +c1sin (9) -1x1sin-1 11解：v = - fsind = cos-+ cj x j xx x(10) 2eA(4 + eA)2cLv解：J，n2eA(4 + e)2dx=f，n2 (4ex)2d(4 +ex)= (4 + ev)32=(216-64) = di) felrJl 解：jel + 5hl=lp1 + 5inx)j(i + 51nx) = -(l + 51nx)2 =-(36-1) = - x 5 I101 102(12) f1e vdxJo解：flexdx = ex1 - levd
26、x = e-ev1 = 1JoIo JoIo(信Sin/2 + 12CosxdLv = Sin解：2 xsin xdx = - xcosx 4、应用题(1)欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？1 HQ解：设底边的边长为X,高为，用材料为y,由已知丁力= 108, =若X2 一 2zi1082 432y = x + 4xh = X +4xx +XX432令y = 2x-岑=0,解得X = 6是唯一驻点， X且y = 2 +生耍 0,1 Q用料最省.X x=6说明x = 6是函数的微小值点，所以当x = 6, (2)用钢板焊接一个容积为4 的正方形的水箱，己知钢板每平方米10元，焊接费40元,问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？4解：设水箱的底边长为X ,高为。，表面积为5,且有 =rX所以 S(X)=X2 +4x = X2 + ,S,(x) = 2x-x令S(x) = 0,得x = 2,因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x = 2, = l时水箱的面积最小. 此时的费用为S(2)10 + 40 = 160 (元)
