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1、习题7 P.387 389,2为求,等价形式，且建立相应的迭代公式:,迭代公式,迭代公式,试分析每一种迭代的收敛性.,附近的一个根，现将方程改写成,解,迭代公式,（1）,（2）收敛,（3）证明：,法（一）由 x0=1.5 则,成沈氰些拄宪褐姿喇刘垂糜刚逢稽贯寥如葫具栅锗怪午绳涵郎酗摘胜匹玄1609级部分习题解答1609级部分习题解答,无意义，,所以此迭代不收敛.,法（三）用压缩不动点定理,设 则,法（二）,因此不适定，不收敛.,诗葛址竿详枝届惠惺到泰湖乳携痪臭锅碍决锨坞杰妈沫小宫孕恢汛钩璃吠1609级部分习题解答1609级部分习题解答,3.设 存在常数 恒成立,证明,若 则对任意x0,迭代,序
2、列,收敛到 f(x)=0的唯一解x*.,证明,所以结论成立.,因,所以,即,栓哑席货叔坯蛙硼亨胶滁租墒话守走球峙宅睫屠虏琢汛势甄眺裤畅瘟耀恭1609级部分习题解答1609级部分习题解答,7对导数,二次连续可微，,只要证明迭代,满足 即可。,由中值定理,介于x与x+f(x)之间,得,采用逼近,定义迭代,证明上述迭代是局部二阶,方法.,证明(一)先证收敛性，,则,所以,皖襟睡原解喷撵魏醛煤识总酶伙尽馅雌怜柄男渺粒哭芳酵丸塞姥艳可舀慰1609级部分习题解答1609级部分习题解答,所以,又当 时,所以,再证二阶收敛.,即,因,f(x*)在xk点Taylor展开为:,代入上式，得,曾色举惯掐像宣活炳敏护
3、篆左寂譬善豹此癌甄害粉对舔局矿求彬障慈猴赐1609级部分习题解答1609级部分习题解答,从而,所以结论成立.,罗比塔法则,脚锈佯宣茬傻涯质杆饼涕邪哺男盅氯珍魂汀把稳酗诡闭培奉协沃寝韶季仔1609级部分习题解答1609级部分习题解答,（二）把 f(xk+f(xk)在xk点Taylor展开:,则,把 f(x*)Taylor展开,从而,代入上式，得,欢含吵痰裂辜铸远耕缀嫁软帚辅旧肥粱脾砌吕铸考酝蓉腿韭姐港人杜棕选1609级部分习题解答1609级部分习题解答,所以结论成立.,罗比塔法则,萄英采泪糊羹卤衰惫留迷好秸赛不咋璃凶讣呢抵债抬痞邑句状景貉讼焉塞1609级部分习题解答1609级部分习题解答,（三）
4、因x*是f(x)=0的唯一根，则可设,得,所以,所以结论成立.,茧疫瘤示妮祭嚎酝弛晋诧翠缠揩通搅蹬肢鳃额庭裔眶炯赔寄货瘴水窍恼侨1609级部分习题解答1609级部分习题解答,设 分别是初值问题,及摄动问题,的解，试证明,证明：由方程（1）及（2），得,令z-y=h(x)则,用分离变量法求解以上关于h(x)的方程，得,法（一）,习题8 P.435 436,键敷届噎烈贰灼讲篇钎消卜廖镣具汲律壳宋斟驯砧跳暮星涨仔衫喳硫颗伍1609级部分习题解答1609级部分习题解答,法（二）当 时，h(x)单调减少。,另外,且,（一）令f(x,y)=-y+x+1.,?,（二）用P391 Th.2及定义1，而这里的K
5、=2?.,浮庞摈猫恶岗奔叛庄戍王根膝匿报绞腊赔葵贵责含激稼流佣填笨县吸篱报1609级部分习题解答1609级部分习题解答,3.试证明Heun方法,是二阶精度方法，并求出其主局部截断误差项.,证明：,蔫蛤物储噪濒瑟如汪滑斧椭炊造腹庐斜日咽邑序鉴席酸座褂闽悠避鸵湛羞1609级部分习题解答1609级部分习题解答,又将y(xk+1)Taylor展开为：,所以,因为h3项前的系数不相同，所以Heun方法为二阶方法，主局部截断,误差项为：,紧蔡忙跃扳祭须宵诺械摈术即某肆饰草泅车拂橱年怯欠议奏呢汕拱痘佩揉1609级部分习题解答1609级部分习题解答,7.试确定二步法,的（1）主局部截断误差；（2）方法的阶；（
6、3）特征多项式P(r)；,（4）绝对稳定区间.,解：二步法为,分别在x=xk点进行泰勒展开得,憋罕夫永滨但荔艰然谨菌姿安琐馋柯拣顽呵饼虞速乱奥移矢库缉译丁俘滑1609级部分习题解答1609级部分习题解答,与 yk+1的展开式比较得该方法为二阶方法，主局部截断误差为,年姓嫡玫孤变耗拔房厕弓仲呸游工萧菊尺趟讣允埃寿型吾羊折颐谐蔽省执1609级部分习题解答1609级部分习题解答,（4）由 得特证方程为：,整理,得,若 则,解得,解得,所以该方法的绝对稳定区间是,飘姐宦五磋挽殆狰焉陶给昼虽乙梨肾马卵公非冤伪缨跪邯啥蝗棕焚罢姆济1609级部分习题解答1609级部分习题解答,8.试求系数a,b,c使三步法,的阶尽量高，并写出其主局部截断误差.,解:三步法为,(法一)将,在x=xk点进行Taylor展开,若令,达骄蒙隋菇涩蛾役慢壕称去叙捷耻葬掀播网款厉坐象缕团逞筑轰富密搐哨1609级部分习题解答1609级部分习题解答,解得,又因,因此三步法为三阶方法.,主局部截断误差为,若令,即h4项的系数不为0,(法二):由P422(5.16)式,得,其它与法一相同.,历借晚佑鞘颖儡葫亏糟拍剃道阉羚棠慌秋赔树迷杂畅甲罢罕调并拐膳浊答1609级部分习题解答1609级部分习题解答,
