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1、第5次课,第1章 函数与极限,第5节 无穷小量与无穷大量,二、无穷大量,三、无穷小量的比较,一、无穷小量,当,一、无穷小量,定义1.若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小量.,时为无穷小.,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!,性质1：,无穷小量与无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.,性质2：,无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量.,例1.求,解:,利用性质 2 可知,定理1,变量y的极限为A等价于变量y-A为无穷小量.,二、无穷大量,定义2 若变量,则称变量,为无穷大量，,的绝对值在变化过程中无限增大，,记作,如：,性质1
2、：,正无穷大量与正无穷大量的和仍为正无穷大量，负无穷大量与负无穷大量的和仍为负无穷大量.,性质2：,无穷大量与无穷大量的积仍为无穷大量.,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.,例如,函数,当,但,不是无穷大!,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2 在自变量的同一变化过程中,说明:,四、无穷小的比较,都是无穷小,引例.,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,定义3,若,则称 是比 较高阶无穷小量,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 较低阶无穷小量;,则称 是 的同阶无穷小量;,则称 是关于 的 k 阶无穷小量;,则称 是 的等价无穷小量,记作,例如,当,时,熟记：灵活应用,-1,定理6.设,且,存在,则,证:,例2,例3 求,(ab).,解,例4 求,解 当x时，,，故,
