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1、,第二节,极限(之二),一、无穷小（大）量,二、函数的连续性,本节内容:,当,一、无穷小量与无穷大量,(1)定义.,时,则称函数f(x),例如:,函数1/x,为无穷小;,函数,是当,为,时的无穷小量,的无穷小.,1.无穷小量,注：0是无穷小.,所有的无穷小都是变量；,无穷小必须指明x的趋向.,简称无穷小.,无穷小不是一个很小的数，故除0之外，,结论10,证明：,其中(x)为,时的无穷小量.,对自变量x的其它变化过程结论仍成立.,定理.(无穷小与函数极限的关系),由例,得,当x0的无穷小量,性质1:有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量;,性质2:,常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量;,(2)无穷
2、小量的性质,证明：,注：两个无穷小的商不一定是无穷小.,反例,性质3:,例3.,求,根据性质3，有,是个有界变量,函数x是x0时的无穷小,解：,有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量;,证明：,(3)无穷小的阶,为了比较两个无穷小趋于0的速度,引入无穷小的阶.,当x0时，x20 比x0 速度“快些”；,反过来，x0 比x20 速度“慢些”；,sinx0 与x0 速度“快慢相仿”.,(3)无穷小的阶,则称 是比 高阶的无穷小,记,则称 是比 低阶的无穷小;,定义.,为了比较两个无穷小趋于0的速度,引入无穷小的阶.,则称 是 的同阶无穷小;,例如,故当 x0时，x3 是比 3x 高阶的无穷小,记,等
3、价无穷小,若,或,则称 与 是等价无穷小,记作,例如,故当 x0时,tanx与 x 是等阶无穷小,故当 x0时,ln(1+x)与x是等阶无穷小,当x0时，常用等价无穷小:,例4.证明:,证:,因此,即有等价关系:,等价无穷小替换定理：,且,存在,则,证:,例5.,设,例6(辨析),解:,原式,错误原因:x,sinx不等价于x,和差不能代替,sin不等价于;,例,解,错,解,例,解,例 求,解一,解二,(1)定义.当xx0(或x)时,则称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷大,记作,2.无穷大量,若函数f(x)的绝对值,无限增大，,无穷大分两种情况：正无穷大、负无穷大,例如，,(2)无穷小与无
4、穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理.在自变量的同一变化过程中,说明:,(不存在),设函数,的某邻域内有定义,二、函数的连续性,函数的增量,定义1.,在,则称函数,且,1.定义,设函数y=f(x),有定义,可见,函数,在点,定义2.,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,存在;,左连续,右连续,若,在区间(a,b)内每一点都连续,则称f(x)在该,区间(a,b)内连续,或称它为该区间(a,b)内的连续函数.,则称f(x)是
5、a,b上的连续函数,记作,若f(x)在区间(a,b)内连续,且在a点右连续,在b点左,连续,而在a点右连续,在b点左连续指,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。,例7.,分析：,解：,（2）,2.连续函数的运算法则,定理1.有限个在某点连续的函数的和,差,积,商,(利用极限的四则运算法则证明),(分母不为 0),仍是一个在该点连续的函数.,定理2.连续函数的复合函数仍是连续函数.,证:设函数,于是,故复合函数,即,即,函数y=f(u)在点,定理2.连续函数的复合函数是连续的.,证:设函数,于是,故复合函数,且,即,函数y=f(u)在点,初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函
6、数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,在区间,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,为连续函数,在点,在,在,三、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续，,设,的某去心邻域内有定义,若函数f(x),而点,有下列情形之一:,虽有定义,但,虽有定义,且,称为f(x)的间断点.,在,则称函数 f(x)在点,无定义;,为间断点.,为间断点.,例如:,(3),为其间断点.,显然,为其间断点.,(4),内容小结,一、两个重要极限,(1),(2),二、无穷小量与无穷大量,1.定义及性质,3.无穷大与无穷小的关系,2.无穷小的阶,作业,练习题1.2（P27）4,复习题2（P28）.1,2,7,
