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1、无限期界与世代交叠模型,Infinite-Horizon and Overlapping-Generations Models,Part A The Ramsey-Cass-Koopmans ModelsPart B The Diamond Model,索洛模型中储蓄率外生，拉姆齐模型则改进这一点，储蓄率内生。消费路径和储蓄率由完全竞争市场中相互作用且追求最优化的家庭和企业共同决定。跨期预算约束下研究具有无限寿命的家庭，他们通过在消费和储蓄之间选择来最大化其效用。,A部分：拉姆齐-卡斯-库普曼模型,2.1 假设,1.厂商完全竞争市场存量大量的厂商企业生产函数相同：Y=F(K,AL）生产函数为新
2、古典生产函数按生产要素支付报酬,2.家庭大量同质的家庭家庭规模以不变外生速率n增长家庭每个成员在每个时点供给1单位劳动家庭将拥有的资本租给厂商初始资本存量为K(0)/H，K(0)是经济中初始资本存量，H是家数量假定不存在资本存量,家庭通过供给劳动和出租资本获取收入，并拥有从厂商利润消费者将收入在消费和储蓄之间分配以最大化其一生效用虽然个体的生命是有限的，但家庭是无限延续的。如果利他主义的父母将一切传承给孩子，子又传孙，孙又传子，如此循环，那么该假定是合理的。,家庭效用函数形式为：C(t)是每个成员在时点t的消费u()是瞬时效用函数L(t)为经济中的总人口L(t)/H为每个家庭的成员数u(C(t
3、)L(t)/H为t时刻家庭的总瞬时效用为贴现率，越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费估值越低。,瞬时效用函数u(C(t)为凹函数，即uC(t)0，uC(t)0常用的瞬时效用函数为：,（1）边际效用弹性不变（2）跨期替代弹性不变，相对风险厌恶系数不变【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：由消费者均衡条件得：代入得：令时间1趋近于2，得到瞬时弹性,（3）边际效用 为正，当1时，边际效用随C增加而减少，当1时，边际效用随C增加而增加。当=1时，效用函数变为对数效用函数u(c(t)=lnc(t)除以1-是为了保证边际效用为正。(4)是为了保证终生效用不发散。,2.2 家庭和厂商行为,
4、1.厂商行为厂商时利润最大化的厂商按边际产品支付要素报酬由于是规模报酬不变的竞争性厂商，因此厂商的利润为0。,t时刻的真实利率为：t时刻的真实工资为：t时刻每单位有效劳动的工资为：,2.家庭的预算约束,家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入（利息r和工资w，均为外生变量）。r可能随时间变化，所以定义：如果r(t)保持不变，则R(t)=rt,家庭预算约束为：,s时刻，家庭拥有的资本存量为：预算约束可以简写为：（2.10）为非蓬齐条件。,3.家庭效用最大化问题,家庭在预算约束下最大化其一生效用由于假设技术进步是劳动增强型，因此必须将代表性家庭的最大化目标函数和预算约束
5、写成包含单位有效劳动的形式。,C(t)为人均消费，c(t)为单位有效劳动消费，其他变量类似，则瞬时效用函数可以写成：,家庭目标函数可以写成：,单位有效劳动形式预算约束方程：,单位有效劳动的非蓬齐条件变为：,4.家庭行为,构造拉格朗日函数：对c(t)求导，得一阶条件为：,利用变分法得到：泛函：的欧拉方程为：,特殊情形：Case 1：欧拉方程为：Case 2：欧拉方程为：Case 3：欧拉方程为：Case 4：欧拉方程为：,两边取对数对时间t求导：,劳均消费c(t)调整路径欧拉方程：人均消费C(t)变动轨迹为：,欧拉方程的理解：欧拉方程”表明家庭可以在不改变一生支出的现值的情况下通过调整其消费增加
6、一生的效用。如果实际报酬超过了未来消费的贴现率 劳均消费会增加；越小，随着消费的变化，其边际效用变动越小，对于实际利率与贴现率之间的差异，劳均消费变动越大。,从跨期消费权衡视角来考虑：消费者将今天的消费节省一部分用于明天消费，均衡出必然要求两者变动导致的终身总效用不变。假设t时刻消费者将dc的消费转化为储蓄，导致的效用损失为：在一个较短的时刻dt将其进行投资，并在t+dt时刻消费这部分收入带来的效用增加量为：,消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致的效用增加量必须相等，所以：两边除以 并取对数得：,2.3 经济动态学,1.单位有效劳动人均消费c的动
7、态学均衡时，所以（2.20）变为：,当有效劳动人均消费增长率等于0时，,有效劳动人均消费动态图,2.单位有效劳动人均资本存量动态学,单位有效劳动的人均资本存量k的运动方程同索洛模型一样，人均资本存量等于实际投资减持平投资。同样假设不存在折旧。,有效劳动人均资本存量动态图,3.相图分析,与 位置比较：在 处，在 处，横截性条件,单位有效劳动人均消费和资本存量相位图,单位有效劳动人均消费和资本存量相位图,D点，初始消费非常低，此时，,4.鞍点路径,鞍点路径满足家庭的跨期消费最优化、资本存量的稳态、资本存量非负和家庭预算约束的要求。对于任意k0，c0必须等于鞍点路径上的相应值，并沿着鞍点路径收敛到均
8、衡点E。,2.4 福利,福利经济学第一定理：如果市场是竞争性的、完全的，且不存在外部性，那么分散化的均衡是帕累托有效的。,中央计划者决策模型：中央计划者最大化代表性消费者的终生效用在投资与消费之间做决策即：,构造汉密尔顿函数,欧拉方程：,2.5 平衡增长路径,2.6 贴现率下降效应,考虑可预见性和不可预见性变化，如果变化是可预见的，则消费者会平滑其消费，在变化之前就做好规划。如果是不可预见的，则会影响到消费者的消费模式。假设最初经济处于平衡增长路径，在某个时刻，家庭突然发现其偏好发生了改变，以一个比先前低的贴现率贴现未来消费。,1.定性效应：Qualitative Effects的下降仅影响
9、的变动轨迹，不影响 的变动轨迹。新的平衡增长路径下的稳态资本存量高于初始稳态资本存量，单位有效劳动人均消费高于初始稳态消费。,贴现率下降的时刻，k=k*，单位有效劳动消费发生跳跃性下降，随后单位有效劳动消费和资本存量都呈现增加，收敛到新的平衡增长路径。,稳态附近一阶线性泰勒展开,2.调整速率与鞍点路径的斜率,则表明 和 的增长率只取决于 和 的比率。,如果0，则，此时经济偏离平衡增长路径，是不稳定的。如果经济收敛于平衡增长路径(k*,c*)，0因此,AA为线性化鞍点路径。BB为偏离路径。在0时刻，c跳跃到此后以1收敛于平衡增长路径。即,2.调整速度,以柯布道格拉斯生产函数为例,设=1/3，=4
10、%，n=2%，g=1%，=1则同等数据，索洛模型的收敛速度为：,以柯布道格拉斯生产函数为例进行线性对数化：,稳态时：从而,2.7 政府购买效应,1.将政府纳入模型中假设政府在每单位时间以每单位有效劳动人均G(t)的速率购买产出。假设政府购买不影响私人效用，即政府购买不进入私人效用函数。假设政府购买不影响未来产出，即投入公共消费而非公共投资，政府购买不进入生产函数。政府购买支出以一次性总付税征收(lump-sum tax)，即每单位有效劳动承担G(t)。,k的运动方程现在变成：较高的G会使 的变动轨迹向下移动。,家庭预算约束变为：欧拉方程保持不变因此政府购买支出不影响 的变动轨迹,2.政府购买的
11、永久性变动和暂时性变动的效应,（1）政府购买永久性增加假设初始经济处于平衡增长路径，G=GL非预期到的永久性购买性支出增加到GH此时 向下移动的数量等于G的增加量。变动轨迹保持不变,c跳跃到新的鞍点路径。减少的量等于G的增加量经济处于新的平衡增长路径。由于政府购买是永久性增加，因而税收是永久性增加，因此消费者无法通过调整消费时间路径来增加其效用。利率和资本存量不变。,（2）政府购买暂时性增加,更复杂的情形是非预期的政府购买增加被预期是暂时的。为简化分析，假设人们知道最终的确切时间。该情形下，c的下降量并不等于政府购买G的增加量，GH-GL。如果消费量下降量等于政府购买量的增加量，则在终结时期，
12、政府购买量恢复到初始量时，消费会出现非连续跳跃性增加，此时边际效用会非连续下降。但是，既然终结时期被预期到，边际效用非连续性也会被预期到，这对家庭来说，并不是最优的选择。,（3）经验型应用：战争与实际利率,政府购买永久性增加不影响利率政府购买暂时性增加会提高利率政府购买暂时性处在较高水平的一个例子是战争时期。因此，我们分析预测战时的实际利率较高。Barro(1987),B部分：戴蒙德模型,2.8 假设,戴蒙德模型和拉姆齐-卡斯-库普曼模型的核心差异是存在人口的新老交替，而非永久性生存的家庭：新人不断出生，老人不断消亡。时间是离散的而非连续的。为了简化分析，假设每个人只存活两个时期：年轻和老年时
13、期。年轻时期赚取收入，并用于消费和储蓄，老年时无收入，靠储蓄度日。,t时期人口为Lt，人口增长率外生为n，因此：因此，t时期有Lt的年轻人和的Lt-1的老年人。每个个人在其年轻的时候供给1单位的劳动。,效用函数为相对风险厌恶不变的效用函数：C1t和C2t代表年轻人和老年人在t时刻的消费。,生产函数假设同拉姆齐-卡斯-库普曼模型存在一些初始资本存量k0，由老年人平均持有。,2.9 家庭行为,跨期预算约束方程：t时刻出生的人在第2期的消费为：,从套利角度理解：t时刻出生的人在年轻时期少消费dc，将其用于储蓄，则t+1时刻老年时期的消费量现值为：如果个人正在进行最优化，则终生效用应保持不变。,令s(r)为储蓄率，则,2.10 经济的动态学,k的运动方程,k的演化均衡，即我们的目的是这样的均衡是否存在？如果存在，偏离之后是否会回到均衡？,对数效用函数与柯布-道格拉斯生产函数,当=1时，效用函数即为对数效用函数。此时，,收敛的速度,均衡时：,一般情形,
