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1、第二章,时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引言,信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法和变换域分析方法。,连续系统：,时域分析,微分方程,傅利叶变换、拉氏变换,代数方程,离散系统：,时域分析,代数方程,傅利叶变换、Z变换,差分方程,序列的傅利叶变换 序列傅利叶变换的性质 序列的Z变换 不同形式序列的Z变换及其收敛域 Z逆变换 Z变换的性质 系统函数与频率特性,2.2 序列的傅利叶变换,2.2.1 序列的傅里叶变换的定义,众所周知，连续时间信号f(t)的傅里叶变换定义为：,而F(j)的傅里叶反变换定义为,离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为：DTFT,(2.2.1),X(ej)的傅里叶反
2、变换定义为,(2.2.4),在物理意义上，X(ej)表示序列x(n)的频谱，为数字域频率。X(ej)一般为复数，可用它的实部（Real）和虚部（Imaginary）表示为：,或用幅度和相位表示为：,设x(n)=anu(n)，0a1,求x(n)的FT。,离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点：,(1)X(ej)是以2为周期的的连续函数。,(2)当x(n)为实序列时，X(ej)的幅值|X(ej)|在02区间内是偶对称函数，相位argX(ej)是奇对称函数。,2.2.2 序列傅利叶变换的性质,当=0时，它是常数序列；随着的增加，信号的震荡速率增加，直到=时，达到离散时间序列的最高振荡速率。当继续增
3、加，其振荡速率反而下降，直到=2时，它又回到常数序列。,当等于2的整数倍时，虚指数序列为常数序列，在这些频率附近是变化较慢的低频序列，而在等于的奇数倍时，都是离散时间虚指数序列的最高振荡频率，附近是高频序列。,1.傅利叶变换的周期性,角频率每改变2及其整数倍时都呈现同一个虚指数序列。因此在研究虚指数序列时，只要在的某个2区间内考察即可。一般选这个区间为-,或02，并称为离散时间频率的主值区间。,数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率，所以数字域频率并不是象模拟域频率越来越大。,数字域频率和模拟域频率的关系?,当=0，2，4 点上表示x(n)的直流分量，离开这些点越远，其频率越高；当=(2
4、M+1)时，代表最高频率信号（见前面的例子）。,M为整数(2.2.6),序列傅列变换是以2为周期的函数。,2.序列的傅里叶变换的线性,3时移与频移,(2.2.7),时间移位=频率相位偏移,4时域卷积,5频域卷积定理,6.帕斯维尔(Parseval)定理,证明：,说明：信号时域的总能量等于频域的总能量。,7序列的傅里叶变换的对称性,共轭对称序列：,共轭反对称序列：,对于实序列来说，xe(n)为偶对称序列，xo(n)为奇对称序列。,时域序列的对称性,xe(n)=xer(n)+jxei(n),x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),x,jy,共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。,同
5、理，共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。以上反之也成立。,xo(n)=xor(n)+jxoi(n),x*o(-n)=xor(-n)-jxoi(-n),例 试分析x(n)=e jn的对称性,解：,x(n)=cosn+j sinn,其实部是偶函数，而虚部是奇函数,是共轭对称序列。,对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即：,(2.2.16),可得：,序列x(n)的傅里叶变换X(ej)可以被分解成共轭对称分量与共轭反对称分量两部分之和，即,同样有：,频域函数的对称性,若X(ej)是实函数：且满足共轭对称，则称为频率的偶函数；若满足共轭反对称，则称为频率的奇函数。,傅利叶变换的对
6、称性,(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n),将上式进行FT，得到（证明见书 P37）：,结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的FT 具有共轭对称性，虚部乘j一起对应的FT具有 共轭反对称性。,X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j),(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 xo(n)，即：,x(n)=xe(n)+xo(n),将上面两式分别进行FT，得到,结论：序列的共轭对称部分xe(n)的傅利叶变换对应 着X(ej)的实部XR(ej)，而序列的共轭反对 称部分xo(n)的傅利叶变换对应着X(ej)的虚 部XI(ej)乘
7、以j。,(2.2.26),例：利用傅立叶变换对称性，分析实因果序列h(n)的对称性。,解：,因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分 He(ej)，共轭反对称部分为零。,H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j),因此实序列的FT的实部是的偶函数，虚部是的奇函数。,HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j),相位为的奇函数,he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n),模为的偶函数,实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为：h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(0)(n)(2.2
8、.30),其中,实因果序列完全可以仅由其偶序列恢复，由其奇序列恢复时，要补充h(0)(n)的信息。,8序列的折叠,9序列乘以n,10序列的复共轭,表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质 P 39,练习：参考书 P63 5,解：,x(n),2.3 周期序列的傅利叶级数,2.3.1 周期序列的离散傅里叶级数,只有当序列x(n)绝对可和，即:,x(n)的傅里叶变换才存在（周期序列不满足条件）。,设,(2.3.6),(2.3.7),比较,为了方便：,(2.3.7)式表明将周期序列分解成N次谐波,第k个谐波频率为k=(2/N)k，k=0,1,2 N-1，幅度为 基波分量的频率是2/N，幅度是。一个周期序列
9、可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,(2.3.6),(2.3.7),也是一个以N为周期的周期序列，称为 的离散傅里叶级数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。,例 设x(n)=R4(n),将x(n)以N=8为周期进行周期延拓,得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 求 的DFS。,解：,2.3.2 周期序列的傅利叶变换表示,在模拟系统中单一频率信号,其傅里叶 变换是在=o处的单位冲激函数，强度是2.,时域离散系统中 的付利叶形式与上式一样，是在=0处强度为2的单位冲激函数,图 2.3.2 的 FT,一般周期序列,(2.3.10),时域周期序列的离散傅利叶级数在频域
10、（及其系数）也是一个周期序列。,例 求如图所示周期序列的FT。,(2.3.10),对于同一个周期信号，其DFS（幅度特性）和FT（幅频特性）分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示,它们都可以表示周期序列的频谱分布。,2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系,模拟信号,时域离散信号,(1.5.5),利用采样定理,对比下式：,推得结果：,结论：序列的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换的关系，与采样信号、模拟信号各自的傅立叶变换一样，都是 以周期 进行周期延拓。,(1.5.5),图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系,2.5 序列的Z变换,2.5.1 Z变
11、换的定义,序列的傅立叶变换 频域分析；推广：序列的Z变换 复频域分析,(2.5.1),z是连续的复变量，它所在的复平面称为z平面。,双边Z变换,单边Z变换,(2.5.2),2.5.2 Z变换的收敛域,对于任意给定的序列，使z变换收敛的z值集合称作收敛区域。根据级数理论，级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件即：,1.有限长序列,这类序列只在有限的区间（n1nn2）具有非零的有限值，其z变换为,因为X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有界，则级数就收敛，即要求|x(n)z-n|,由于x(n)有界，故要求|z-n|,显然，在0|z|上都满足此条件。,在n1、n2满足特殊条件下，收敛域还可
12、进一步扩大,2右边序列,在nn1时，序列值不全为零，而在nn1，序列值全为零。,第一项为有限长序列，其收敛域为0|z|。,第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|,右边序列Z变换的收敛域为,如果序列是因果序列，其收敛域为Rx-|z|,3左边序列,左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在 nn2，序列值全为零的序列。,第一项为反因果序列，其收敛域为0|z|Rx+。,第二项为有限长序列，n20时，其收敛域为0|z|；n20时,0|z|。,因果序列最重要的一种右边序列，即n=0的右边序 列，z变换在z=处收敛是因果序列的特征。,4双边序列 双边序列是从n=-延伸到n=+的序列。其z变换为：,显然，可
13、以把它看成右边序列和左边序列的z变换叠加。如果Rx-Rx+，则存在一个如下的公共收敛区域 Rx-|z|Rx+所以，双边序列的收敛域通常是环状区域。,例1 x(n)=(n),求此序列的Z变换及收敛域。,解：,收敛域为整个Z平面（0Z）。,例2 已知有限长序列x(n)=u(n+1)-u(n-2)。求x(n)的双边Z变换及其收敛域。,解：,例2 求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域,解：,所以，当|z|a|时X(z)收敛。于是得：,所以，当 时，级数收敛。,例 求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。,解：,X(z)存在要求|a-1z|1，即收敛域为|z|a|,例 2.5.5 x(
14、n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变 换及其收敛域。,解：,第一部分收敛域为|az-1|a|；第二部分收敛域为|az|1，得|z|a|-1。,如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1,其Z变换如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。,0a1,P(z)=0的根是X(z)的零点；Q(z)=0的根是X(z)的极点。,在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，但收敛域总是由极点限定其边界。,(1)有限长双边序列的双边Z变换的收敛域一般为 0|z|；单位序列(n)的双边Z变换的收敛域 为全Z复平面。(2)无限长右边序列的双边Z变换的收敛域为 R
15、x-|z|，即收敛域为半径为Rx-的圆外区域。因果序列，收敛域为 Rx-|z|。(3)无限长左边序列双边Z变换的收敛域为|z|Rx+，即收敛域为以为Rx+半径的圆内区域。,总 结,(4)无限长双边序列双边Z变换的收敛域为Rx-|z|Rx+，即收敛域位于以Rx-为半径和以Rx+为半径的两个圆 之间的环状区域。(5)在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点。(6)不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其双边 Z变换不是一一对应的。序列的双边Z变换连同收 敛域一起与序列才是一一对应的。,2.5.3 Z变换与傅利叶变换,单位圆上的z变换就是序列的傅利叶变换。当z变换的收敛域包含单位圆时，可由序列的Z
16、变换得到傅利叶变换。,一个序列在收敛域内Z变换存在，不能保证傅利叶变换存在。,2.5.4 Z变换的性质,1、线性,定义域：一般情况下，取二者的重叠部分,某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。,eg.求x(n)=cos(0n)u(n)的Z变换。,解：,2、移位特性,式中，m为正整数,零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。,3、尺度变换特性若ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+则：ZTanx(n)=X(a-1z)，|a|Rx-|z|a|Rx+,4、X(z)的微分性质若：ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+则：上式表明：序列x(n)的Z变换的导数乘以-z等于x(n)经线性加
17、权后的z变换，收敛域不变。,若a=-1,则有,5、共轭序列,6、反转序列,若：,则有：,7、初值定理对于x(n)=0，n0的因果序列，有：,8、终值定理设x(n)为因果序列，且X(z)除在z=1处可以有一阶极点外，其它极点都在|z|=1的单位圆内，则有,9、部分和,若x(n)X(z)，|z|，则有：,10、序列卷积,若ZTx1(n)=X1(z)，ZTx2(n)=X2(z)，x(n)=x1(n)*x2(n)则 ZTx1(n)*x2(n)=X1(z)X2(z)其收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的重叠部分。,11、复卷积定理若：ZTx(n)=X(z)，R x-|z|R x+ZTy(n)=Y(z)
18、，R y-|z|R y+w(n)=x(n)y(n)则：,W(z)的收敛域,例：,在z=a 处，零极点相消，如果|b|a|，收敛域扩大。,12、帕斯维尔(Parseval)定理,利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。,那么：,v平面上，c所在的收敛域为：,如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=e j，得到：,令x(n)=y(n)，得到：,和在傅里叶变换中所讲的帕斯维尔定理(2.2.34)式是相同的。表明时域中求序列的能量与频域中用频谱密度来计算序列的能量是一致的。,2.5.5 Z逆变换,已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为z反变换，正、反变换表示为
19、：,c是X(z)收敛域中一个逆时针方向环绕原点的围线。求z反变换的方法通常有三种：留数法、幂级数法和部分分式展开法。,1.幂级数展开法,|z|Rx+,|z|Rx-,Rx-|z|Rx+,(2)反因果序列，收敛域为,(3)双边序列，收敛域为,(1)因果序列，收敛域为,X(z)为z-1的幂级数，幂级数各项的系数为x(n)的值。,例1 已知 用长除法求其逆Z变换x(n)。,解：因果序列,1,+3z-1,+7z-3,例2 已知，用长除法求其逆Z变换x(n)。,解：左边序列,例 3 已知,求F(z)的原函数f(k)。,解：,因果序列,反因果序列,2部分分式展开法,若X(z)为有理分式，则X(z)可表示为：
20、,式中，ai(i=0，1,2,n)、bj(j=0，1,2,m)为实数，取an=1。若mn，F(z)为假分式，可用多项式除法将F(z)表示为,一般先把 展开为部分分式，然后再乘以z，得到用基本形式 表示的X(z)，再根据常用Z变换对（P45 表2-2）求Z逆变换。,(1)的极点为一阶极点。,两端乘以z，得,|z|,根据X(z)的收敛域和以下变换对,|z|zi|,|z|zi|,求F(z)的原函数f(k)。,例 已知,解：,|z|2,例2.5.10 已知，求逆Z变换。,解：双边序列,例7 已知,求X(z)的原函数x(n)。,解：,1|z|2,2.6 离散系统的频率特性,2.6.1 系统函数,单位脉冲
21、响应是指输入为单位脉冲序列时系统的零状态响应，一般记为h(n)。,h(n)=T(n),1.系统的传输函数,对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j),称为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。,2.系统函数,对h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。,如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，则在单位圆上（z=ej）的系统函数就是系统的频率特性H(ej),线性非移变系统可以用线性常系数差分方程描述：,对上式两边求Z变换，利用线性性质和时不变性质，得：,可见系统函数的系数也正是其差分方程的系数。,3、系统函数与系统差分方程的关系,系统函数还可以进
22、一步分解成：,式中：dk)和cr分别表示H(z)在z平面上的极点和零点。这样，系统函数可以用z平面上的极点、零点和常数A来确定。,例：根据系统函数求该系统的差分方程,解：为了求满足该系统输入输出的差分方程，可以将H(z)的分子和分母各因式乘开，而得到如下的形式：,于是，,其差分方程就是：,同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同。,2.6.2 系统的因果性和稳定性,因果系统的充分必要条件:当n0时，h(n)=0,即：因果系统的系统函数的Z变换，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。,Z变换在z=处收敛是因果序列的特征。,在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点。,Rx-|z|,系统
23、稳定的充要条件：,由Z变换收敛域的定义：,如果系统稳定，则系统函数H(z)的收敛域一定包括单位圆。（|z|=1，在单位圆上收敛）,很显然，这就等于要求该系统函数的全部极点都在单位圆内，即H(ej)存在且连续。,一个因果稳定系统的系统函数H(z)必须在从单位圆内到的整个z域内收敛，即,r|z|，0r1,例2.6.1已知 分析其因果性和稳定性.,也就是说，系统函数的全部极点要落在单位圆内。,解：H(z)的极点为z=a，z=a-1 零点z=0,(1)收敛域a-1|z|，对应的 系统是因果系统，但由于 收敛域不包含单位圆，因 此是因果不稳定系统。,(2)收敛域0|z|a,收敛域不包括单位圆，对应的系统
24、 是非因果不稳定系统。,(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。,(4)H(z)对应的三种系统中，前两种系统不稳定，第三种 稳定但非因果，因此，严格的说，这三种系统都不能 具体实现。但利用数字系统的存贮性，第三种系统可 近似实现。,2.6.3 系统的频率响应,1、频率响应的意义设输入信号为：系统输出：,它描述复指数序列（正弦序列）通过线性时不变系统后，复振幅（包括幅度和相位）的变化。,即：系统频率响应正是系统函数在单位圆上的值。或：系统频率响应是系统的单位取样响应的傅里叶变换。,称为系统的频率响应,2、系统频率响应的特点,(1)H(ej)
25、是的连续函数；(2)H(ej)是以2为周期的的周期函数；(3)h(n)为实序列时，H(ej)的幅值为偶对称的，相位为奇对称的(在02区间),系统的单位取样响应与系统的频率响应，互为傅里叶变换对,3、系统频率响应的几何确定法,设系统稳定，H(z)收敛域包含单位圆，将z=ej代入,令：,频响的幅度函数,频响的相位函数,例：已知离散系统的系统函数为,求系统的频率响应，粗略画出系统的幅频响应和相频响应曲线。,解：,令：,0,2,B,A,高通滤波器,例 已知H(z)=z-1，分析其频率特性,解：由H(z)=z-1，极点为z=0，H(ej)=e-j 幅度特性|H(ej)|=1,相位特性()=-,原点处的零
26、极点不影响系统的频率特性。,（1）原点处的极点和零点对于频率响应的幅度并无影响，它们只是在相位中引入一个线性分量。（2）极点主要影响频响的峰值，极点越靠近单位圆，峰值就越尖锐，当极点处于单位圆上，该点的频响就出现，这相当于该频率处出现无耗谐振。（3）零点主要影响频响的谷值，零点越靠近单位圆，谷值越小，当处于单位圆上时，幅度为0。,结论,2.6.4 已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频特性。解：,H(z)的极点为z=0，这是一个原点处的N阶极点，它不影响系统的频响。零点有N个，由分子多项式的根决定：,N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图所示。当从零变化到2时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：k=(2/N)k,k=0,1,2,(N-1)。一般将具有如图所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。,图2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性,小 结,序列傅利叶变换的性质：周期性，对称性，时域卷积周期序列的傅利叶级数和傅利叶变换的频谱特性序列傅利叶变换与模拟信号傅利叶变换之间的关系序列Z变换的定义和收敛域Z变换的逆变换：部分分式展开法系统函数与系统因果性和稳定性的判定,
