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1、,习题课,一、曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,线面积分的计算,第十一章,一、曲线积分的计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)选择积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,练习题:P244 题 3(1),(3),(6),解答提示:,计算,其中L为圆周,提示:利用极坐标,原式=,说明:若用参数方程计算,则,P244 3(1),P244 3(3).计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,P244 3(6).计算,其中 由平面 y=z 截球面,提示:因在
2、上有,故,原式=,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,(1)利用对称性及重心公式简化计算;,(2)利用积分与路径无关的等价条件;,(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);,(4)利用斯托克斯公式;,(5)利用两类曲线积分的联系公式.,2.基本技巧,例1.计算,其中 为曲线,解:利用轮换对称性,有,利用重心公式知,(的重心在原点),例2.计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心、,解法1 令,则,这说明积分与路径无关,故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:,(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加
3、辅助线段,思考题解答:,(1),(2),证:把,例3.设在上半平面,内函数,具有,连续偏导数,且对任意 t 0 都有,证明,对D内任意分段光滑的闭曲线L,都有,两边对t求导,得:,则有,因此结论成立.,(2006考研),计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,练习题:P244 题 3(5);P245 题 6;11.,3(5).,用格林公式:,P245 6.,设在右半平面 x 0 内,力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,P245 11.,求力,沿有向闭曲线 所作的,其中 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法
4、1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,功,设三角形区域为,方向向上,则,方法2,利用,公式,斯托克斯公式,例4.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算,解:记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为 在 xOy 面上的投影.,由斯托克斯公式,公式,D 的形心,二、曲面积分的计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)选择积分变量 代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:始终非负,第二类:有向投影,(3)确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,思 考 题,1)二重积分是哪一类积分?,答:
5、第一类曲面积分的特例.,2)设曲面,问下列等式是否成立?,不对!对坐标的积分与 的侧有关,2.基本技巧,(1)利用对称性及重心公式简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3)两类曲面积分的转化,练习:,P244 题4(3),其中 为半球面,的上侧.,且取下侧,原式=,P244 题4(2),P245 题 10 同样可利用高斯公式计算.,记半球域为,高斯公式有,计算,利用,例5.,证明:设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,例6.计算曲面积分,其中,解:,思考:本题 改为椭球面,时,应如何,计算?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内
6、侧,然后用高斯公式.,例7.设 是曲面,解:取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xOy 平面上夹于,之间的部分,且取下侧,取上侧,计算,则,第二项添加辅助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!,得,例8.计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,作业,P244 3(2),(4);4(2)5;9,备用题 1.已知平面区域,L为D 的边界,试证,证:(1)根据格林公式,所以相等,从而,左端相等,即(1)成立.,(2003 考研),因、两式右端积分具有轮换对称性,(2)由式,由轮换对称性,(1)在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是,2.地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机,能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为 H=0.25 R,卫星绕地球一周的时间为 T,试求,(2)在,解:如图建立坐标系.,的时间内,卫星监视的地球,表面积是多少?,多少?,设卫星绕 y 轴旋转,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为,(2)在,时间内监视的地球表面积为,点击图片任意处播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中S0 为盲区面积,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为,(2)在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,斯托克斯(Stokes)公式,
