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1、曲线积分期末复习,一、对弧长的曲线积分的计算,二、对坐标的曲线积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,三、格林公式,四、曲线积分与路径无关的条件,一、对弧长的曲线积分的计算,1.基本方法,第一类曲线积分(对弧长),(1)若曲线由,转化,定积分,参数方程：,（3）若曲线由极坐标方程：,(2)若曲线由直角坐标方程：,注意1：第一类曲线积分的上下限:下小上大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、练习题,1、计算,其中L为下半圆周,解（法1）：利用极坐标,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式,注意2：曲线积分的积分区域是关于x,y的等式，,因而被积函数中的x,y满足积分
2、曲线L的方程,所以可直接代入化简积分因子。,法2：,曲线方程为,原式,2、计算,其中L为圆周,解:利用极坐标,原式=,3.计算,且周长为,解：由于积分曲线方程为,其中L为椭圆,4.设空间曲线L为,曲线积分,（）,提示：由于交线中有,所以,从而,5.设L为左半圆周,将曲线积分,化为定积分的正确的,结果是（）,提示：直接套公式,所以,左半圆,二、对坐标的曲线积分的计算,1.基本方法,第二类曲线积分(对坐标),转化,定积分,（1）曲线用参数方程表示,（2）曲线用直角坐标方程表示,确定积分上下限：,“下始上终”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.计算,其中L为xoy平面 y=b上一段,解:由于积
3、分曲线为,由公式化为定积分,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将,代入,中，得,2、练习,2.计算,其中 L 为,(1)半径为 a 圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).,解:(1)取L的参数方程为,则,(2)取 L 的方程为,则,3.计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、格林公式,注意：（1）L为正向曲线,（2）,具有一阶连续偏导数.,2、练习,的正向，则曲线积分,（）,（1）设L取圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、,C,提示：由于,原式=,(
4、2).计算,其中L 是从点,的上半圆周,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.格林公式应用求面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,例如,椭圆,所围面积,（2）闭区域D是由简单闭曲线L（正向）所围,下系列积分不等于D的面积的积分是(),提示：,C,四、曲线积分与路径无关的条件,设D 是单连通域,函数,在D 内,具有一阶连续偏导数,则有,1.计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关,故,a 为半径的上半圆周.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:,(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题解答:,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,(3).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
