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1、1,2,有理函数：,一、有理函数的积分,3,4,（1）分母中若有因式，则分解后为,真分式化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,5,特殊地：,分解后为,6,7,8,例2,9,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例3,10,例4,整理得,11,12,例6 求积分,解,13,例7 求积分,解,14,例8 求积分,解,令,15,16,17,例10.求,解:原式,18,二、三角函数有理式的积分,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数,19,问题：如何积分,20,例1.求,解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,故令,原式,21,例2.求,解:,原式,2
2、2,例3.求,解法 1.,令,原式,23,例3.求,解法 2.,令,原式,24,2、万能代换,25,（万能置换公式）,26,例4 求积分,解,由万能置换公式,27,28,例5 求积分,解（一）,29,解（二）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,30,31,例8 求积分,解,32,33,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例9 求积分,解 令,三、简单无理函数的积分,34,35,例10 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,36,例11 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,37,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公式）,（注意：万能公式并不万能）,四、小结,38,39,思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,40,思考题解答,分解后的部分分式必须是最简分式.,41,练习题,42,43,44,练习题答案,45,46,47,
