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1、10-5带电粒子在电场和磁场中的运动一、带电粒子在电场和磁场中所受的力若电场中点P的电场强度为E，则处于该点的电荷为+ q的带电粒子所受的电场力为F = qE此外，若点P处的磁感强度为B，且电荷为+ q的带电粒子以速度v通过点P，如下图所示，F = qv x B那么，作用在带电粒子上的磁场力为（10-9）Fm叫做洛伦兹力。洛伦兹力Fm的方向垂直于运动电荷的速度V和磁感强度B所组成的平 面，且符合右手螺旋定则：即以右手四指由v经小于180的角弯向B，此时，拇指的指向就是 正电荷所受洛伦兹力的方向。由式（10-9）还可以看出，当电荷为+q时，Fm的方向与VX B的 方向相同；当电荷为q时，Fm的方
2、向则为-V XB的方 向。在普遍的情况下，带电粒子若既在电场又在磁场中运动时，那么作用在带电粒子上的磁力 应为电场力qE和洛伦兹力qV X B之和，即即F = qE + qv x B二、带电粒子在磁场中运动举例1回旋半径和回旋频率设电荷为+ q，质量为m的带电粒子，以初速v0进入磁感强度为B的均匀磁场中，且V0与B 垂直，如下图所示。如略去重力作用，则作用在带电粒子上的力仅为洛伦兹力 F，其值为 F = qv 0 B，而F的方向垂直于v 0与B所构成的平面，所以，带电粒子进入磁场后将以速率V 0作 匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有V 2 qv B = mR其中R为带电粒子作匀速圆周运动的轨道
3、半径，也称回旋半径。由上式得mVcR = &（10-10）qB我们把粒子运行一周所需要的时间叫做回旋周期，用符号T表示，有2nR 2nm vo单位时间内粒子所运行的圈数叫做回旋频率，用f表示，有1 _ qB（10-11b）T 2nm讨论：关于带电粒子在磁场中运动问题的讨论1正电荷和负电荷的vo与B垂直时运动轨迹的比较如下图所示因此，在高能粒子物理中，常用带电粒子在云室中的径迹来观察和区分粒子的性质。1932 年美国物理学家安德森（C.D.Anderson,1905一）在分析宇宙射线穿过云室中的铅板后所产生的 带电粒子径迹的照片时，发现了正电子，证实了狄拉克的正电子预言。2以上讨论只适用于带电粒
4、子速度远小于光速的非相对论情形。如带电粒子的速度接近于光速， 上述公式虽然仍可沿用，但粒子的质量m不再为常量，而是随速度趋于光速而增加的，因此回 旋周期将变长，回旋频率将减小。考虑到这种情况，人们便研制了同步回旋加速器等。2磁聚焦前面讨论了带电粒子的初速Vo与磁感强度B垂直时带电粒子作圆周运动的情形，下面将讨 论Vo与B之间有任意夹角时，带负电荷粒子的运动规律，如下图所示，设在均匀磁场中的磁感 强度B的方向沿乙轴正向，带电粒子的初速vo与B之间的夹角为0。于是，可将初速vo分解为: 平行于B的纵向分矢量V /和垂直于B的横向分矢量V。它们的值分别为V / = V oCOS 0和七=VoSin0
5、。七在磁场作用下将使粒子在垂直于B的平面内作匀速圆周运动；V/仍使粒子保持 沿B方向的匀速直线运动。现在由于带电粒子同时参与这两个运动，结果它将沿螺旋线向前运 动。显然，螺旋线的半径为R =缉 qB回旋周期为qB2nR 2nmT =七2 nmv d = v T =tt-qB而且，如把粒子回转一周所前进的距离叫做螺距，则其值为上式表明，螺距d与V无关，只与V tt成正比。利用上述结果可实现磁聚焦。如下 图所示，在均匀磁场中某点A发射一束初速相差不大的带电粒子，它们的七与B之间的夹 尽相同，但都很小，于是这些粒子的横向速度略有差异，而纵向速度tt却近似相等。这样这 些带电粒子沿半径不同的螺旋线运动
6、，但它们的螺距却是近似相等的，即经距离D后都相交于 屏上同一点。这个现象与光束通过光学透镜聚焦的现象很相似，故称之为磁聚焦现象。磁聚 焦在电子光学中有着广泛的应用。3.带电粒子在非均匀磁场中的运动举例观测表明，地球磁场类似于磁偶极子产生的磁场，它的磁感线分布情况如图所示，两极强 而中间弱，在外层空间运动的大量带电粒子（宇宙射线）进入磁场影响范围，将绕地磁感线作螺 旋运动，因为在近两极处地磁场增强，作螺旋运动的粒子将被折回，结果在沿磁感线的区域内来 回振荡，形成范阿仑辐射带。偶尔地，太阳黑子活动引起空间磁场的变化，使粒子在磁感线引 导下在地极附近进入大气层，从而引起大气中氮和氧分子的电离，产生出
7、奇丽的极光（见本章封 面图）。三、带电粒子在电场和磁场中运动举例1质谱仪质谱仪是用物理方法分析同位素的仪器。下图是一种质谱仪的示意图。从离子源（图中未画出）产生的正离子，以速度羽经过狭缝S1和52之后，进入速度选择器。设速度选择器中P1、P2之间的均匀电场的电场强度为E，而垂直屏幕向外的均匀磁场的磁感强度为B。当电荷为+ q的正离子的速度满足V = E / B时，它们就能径直穿过P1、P2而从狭缝 3射出。正离子由5 3射出后，进入另一个磁感强度为B的匀强磁场区域，磁场的方向也是垂直屏幕向外的，但在此区域中没有电场。这时正离子在磁场力的作用下，将以半径人作匀速圆周运动。若离子的质量为m，则有所
8、以qBRm =V由于B和离子的速度V是已知的，且假定每个离子的电荷都是相等的， 从上式可以看出，离子的质量和它的轨道半径成正比。如果这些离子中有不同质量的同位素，它们的轨道半径就不一样，将 分别射到照相底片上不同的位置，形成若干线状谱的细条纹，每一条纹相 当于一定质量的离子。从条纹的位置可以推算出轨道半径R，从而算出它 们的相应质量，所以，这种仪器叫做质谱仪。扩充内容：速度选择器在图中，带正电的粒子束垂直射入呈正交的均匀电场和均匀磁场中，同时受到电场力qlE和洛伦兹力qv0 xB的作用。适当设置电场和磁场的方向，可以使这两个力方向相反，则速度满足qE = qy即v = E / B0的粒子能平直
9、地通过板Pi，P2之间的区域，当然，调整和B的值，就可允许其它速度的粒子通过该区域，这种装置称为速度选择器。理。扩充内容：我国于1994年建成的第一台强流质子加速器2回旋加速器回旋加速器是一种能产生高能量带电粒子的机器，下面简述其工作原右图是回旋加速器原理图，它的主要部分作为电极的两个金属半圆形真空盒D1和D2放在高真空的容器中，然后将它们放在电磁铁所产生的强大均匀磁场B中，磁场方向与巳和 D2的平面垂直。当两电极间加有高频交变电压时，两电极缝隙之间就存在高频交变电场E，致使极缝间电场 的方向在相等的时间间隔f内迅速地交替改变。如果有一带正电荷q的粒子，从极缝间的粒子源O中释放出来， 那么，这
10、个粒子在电场力的作用下，被加速而进入半盒D1。设这时粒子的速率已达七，由于盒内无电场，且 磁场的方向垂直于粒子的运动方向，所以粒子在D1内作匀速圆周运动。经时间后，粒子恰好到达缝，这时 交变电压也将改变符号，即极缝间的电场正好也改变了方向，所以粒子又会在电场力的作用下加速进入盒D2， 使粒子的速率由七增加至V2，在D2内的轨道半径也相应地增大。由式（10-11b）已知粒子的回旋频率为qB f =天m为粒子的质量。这样，带正电的粒子，在交变电场和均匀磁场的作用下，多次累积式地被加速而沿着 螺旋形的平面轨道运动，直到粒子能量足够高时到达半圆形电极的边缘，通过铝箔覆盖着的小窗F，被引出 加速器。高能
11、粒子在科学技术中有广泛的应用领域，如核工业、医学、农业、考古学等等。3霍耳效应如下图所示，把一块宽为b，厚为d的导电板放在磁感强度为B的磁场中，并在导电板中通以纵向电流1， 此时在板的横向两侧面4#之间就呈现出一定的电势差UH。这一现象称为霍耳效应，所产生的电势差UH称霍耳电压。实验表明，霍耳电压的值 为IB =R - H d霍耳电压也就随之消失。讨论：如何用洛伦兹力解释霍耳效应?（10-12）其中RH称为霍耳系数。如果撤去磁场，或者撤去电流，在上图中，设导体板中的载流子为电荷q,其漂移速度为，。于是载流子在磁场中要受洛伦兹力Fm的 作用，其值为Fm = qvB，在洛伦兹力的作用下，导体板内的
12、载流子将向板的A端移动，从而使A，A两侧面 上分别有正、负电荷的积累。这样，便在a，A之间建立起电场强度为E的电场，于是，载流子就要受到 一个与洛伦兹力方向相反的电场力Fe。随着A，A上电荷的积累，Fe也不断增大。当电场力增大到正好等 于洛伦兹力时，就达到了平衡。可以推得霍耳电压为H nqd则可得霍耳系数1nq可见Rh与载流子数密度n成反比。以上我们讨论了载流子带正电的情况，所得霍耳电压和霍耳系数亦是正的。如果载流子带负电，则产生 的霍耳电压和霍耳系数便是负的。所以从霍耳电压的正负，可以判断载流子带的是正电还是负电。扩充内容：量子霍耳效应从式（10-12）UH IBd中可以看到，在给定电流1和
13、导体厚度d的情况下，霍耳电压随磁感强度B的增加而线性地增加。然而，1980年德国物理学家克利青(Klausvon Klitzing，1943)，在研究低温和强磁场下半导体的霍耳效应时发现霍耳电压UH与B的关系如图所示。从图中可以看出UH与B之间的关系R不再是线性的，而是量子化的。按照霍耳效应的量子理论，霍耳电阻H应为hne 2（n为正整数）式中h为普朗克常量（见第18-1节），e为电子电荷，它们的值可以由物理常数表查得。所以霍耳电阻25812.806n当n =】时的霍耳电阻为25812.806 Q。由于量子霍耳电阻可以精确地测定，所以1990年人们把由量子 霍耳效应所确定的电阻25812.806 Q作为标准电阻。为表彰克利青发现了量子霍尔效应，他于1985年获诺 贝尔物理学奖。四、思考题1- 一质子束发生了侧向偏转，造成这个偏转的原因可否是电场？可否是磁场？你怎样判断是哪一种场对 它的作用？2.均匀磁场的磁感强度B的方向垂直向下，如果有两个电子以大小相等、方向相反的速度沿水平方向 射出，试问这两个电子作何运动？如果一个是电子，一个是正电子，它们的运动又如何？在均匀磁场中有一电子枪，它可发射出速率分别为v和2v的两个电子。这两个电子的速度方向相同，且 均与B垂直。试问这两个电子各绕行一周所需的时间是否有差别？
