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1、平面向量的数量积知识点及归纳总结知识点精讲一、平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b ,作房=a , OB= b /AOB=0(O业冗)叫作向量a与b的夹角.记作:;a,屈,并规定! a, b ； g0,兀兀.如果a与b的夹角是一，就称a与b垂直，记为a 1 b.2 I a | b |cos （a,b叫作 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a -b ,即 a -b =| a | b Icos ；： a,b ： 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充票条件是a -b =0.两个非零向量a与b平行的充票条件是a -b = 土 | a | b |.二、平面向量数量积的几
2、何意义 数量积a -b等于a的长度|a |与b在a方向上的射影|b |cosd的乘积.即a -b=| a |b|cos 6.(b在a方向上的射影| b |cos 6 = 弈;a在b方向上的射影| a |cos6 = 哄).ab三. 平面向量数量积的重要性质性质 1 e a = a - e =| a |coso .，性质 2 a 1 b o a b = 0.性质3当a与b同向时a b = |a | b |；当当a与b反向时a b = -|a | b |.a a = a 2 =| a |2 或 | a |=ta 2.a b性质4 cos o=命（a丈0且丈0）性质 5 | a b |a | b |
3、.注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向 量夹角；利用性质5可解决不等式问题.四、平面向量数量积满足的运算律(1) a b=b a (交换律)；(2) (扁) b=Xa b = a (kb)(k 为实数)；(3) (a +b) c =a c + b c (分配律)。数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律(a b) c丰a(b c)，不可约分a b=a c 芹 b = c.五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x ,y ),b=(x ,y )，则a -b = x x +y y 由此得到11221212(1) 若 a=(x,
4、y)，则|a2 =1 a I2 = x2+y2或 | a = x2+y2 ；(2) 设 A(x ,y ),B(x ,y )，则A,B 两点间距离I AB I= j(x -x )2+(y - y )211222121(3) 设a=(x ,y ),b=(x ,y ),9 是a与b 的夹角，则cos0 = r *1 *2 + y1 y2,1 12 2ylx2 + y2 寸x 2 + y 2 11*229非零向量a,b,a 1 b的充要条件是xx +yy = 0.1 21 2x x y y9 由 IcosO = I ,1 2 十立七1 得(xx +yy )20且a*/(久0)(或ab0，且老/(20)
5、题型归纳及思路提示题型1平面向量的数量积思路提示平面向量的数量积的计算有其定义式和坐标式，若告诉坐标或容易建立坐标系利用坐标计算，否则运用定 义式.这里要考虑将向量尽可能转化为共线或垂直.一、平面向量的数量积例 5.19 ( 1)在 RtABC中，/C = 900, AC = 4,则AB - AC =()A. -16B. -8C. 8D.16(2)(2012北京理13)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 DE CB =； DE DC的最大值为.(3)在AABC中，m是BC的中点AM=1，点P在AM上且满足AP = 2PM，则PA (PB + PC )等于 ()B.4C. 3
6、4D.9分析利用向量数量积的几何意义(投影)求解.1+旧解析(1)在RtAABC,ZC= 900,则AB- AC=| AB| - | AC| cos A =| AC|2 =16，故选 d.(2)如图 5-25 所示，DE - CB =| CB |2 = 1，过点 E 作EF 1 DC 于点 f，DE DC =| DE | | DC | cos Zcde =| DF | | DC |，所以(DE DC) = DC 2 = 1.(3)如图5-26所示，因为点M是BC的中点，故PB + PC = 2PM，2 14PA (PB + PC) = PA 2PM = 2 | PA | | PM | cos
7、兀=2 x - x - x (-1)=-故选 a3 39 变式1如图5-27所示，在平行四边形ABCD中，AP 1 BD，垂足为P，且AP = 3，则 kAP AC=图 5-25变式2在AABC中，AB1, BC的重心，则AG AC =例5.20 (2012江苏9)如图5-28所示，在矩形ABCD中，AB = , BC = 2,P- FF 9-F在边CD上，若AB AF =宓，则AE BF的值是： .+k卜 1解析解法1：用AB, AD表示AE, BF是关键.设茄=x AB，则CF = (x - 1)AB.AB AF = AB (AD + DF) = AB (AD + xAB) = xAB2
8、= 2x = 2,所以x一- l ,、：2所以BF = BC + CF = AD + (，- 1)AB2-.-.-. j 9. -.*1 .-. 9. -AE BF = (AB + BE) AD + C - 1)AB = (AB + - BC) AD + J - 1)AB222=(圣-1)AB2 + 1 AD2 =(至-1) x 2 + 1 x 4 = 22222解法二：向量数量积的坐标运算。以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系xAy，如图5-29所示.A(0,0), B(%20), D(0,2), E(21)，设F(x,2),则AB = (.,-,0),AF = (x,2),j|i由
9、AB AF = V2x = S,得x=1.， r- 、, 、-h hl则AE = G/2,1),BF = (1 S),所以AE BF =履.变式 1 如图 5-30 所示在 AABC中, /BAC = 1200, AB = 2, AC = 1, D 是边 BC 上一点，b-DC = 2BD 顼IJAD BC =.Ljil =! =， I;变式 2 如图 5-31 所示，在 AABC中, AD 1 AB, BC = J3BD,| AD |= 1, iJAC AD =变式3 （2012天津理7）已知AABC为等边三角形，AB=2.设点P，Q满足AP =人AB, AQ = （1 人）AC,人 e R
10、,若BQ CP = 3 ,则人=（）2A.1 2 B.1 10 C.D.例 5.21 已知向量a,b,c 满足tt+b+c0,1 a =i,b 1=2,|c |二七2 则 a bb c+c a =.解析由(a0+c )2=0 2,得 a 2+b2+c 2+2ab+2bc+2a.c=0，所以ab0.cwc二12+22+(声)2_7变式 1 在 AABC中，若 | AB |= 3,| BC |= 4, | AC |= 6,则 AB BC + BC CA + CA AB =.变式2 向量a，b,c 满足a+b+c=0,且ab, ILLIb l=2，则c 1=.变式3设向量a,b,c满足a+b+c0,
11、且(abHc，ab，若1 aL，则I a 卯 b |2+Ic |2=.例5.22设a,b,c是单位向量且ab=O,则(a c) (b c)的最小值为().A. 2B. v2 2C. 1D.1 -插解析由(a_c)(b_c)也b_c (a0)+c2又a b=0,得(ac) (bc) = c2 c(a+b) = 1-1 c IIa+b Icosc,a +b) = 1- 0,即0，同时也应注意从以上结 果中排除同向共线这一情形.解析设a+与M+b的夹角为“，则泠代3。且*3, 因为cos90，所以(a + Ab).(；a+b) 0，展开得入。2+(入2+1)ab +入b2 0,由 I a I= ,
12、2,I b I= 1,a b = I a I I b I cos 45。= 1，可将上述不等式化为 2入 + (入2 +1) + 入0,即3 +0,解得入一p-或入0），则1 = k，入=k，所以.k2=1,k = 1,入=1.所以当两向量不同向共线时，得入=1.、3+/5 一 一3京一. 、故当入一或入 -且人老1时，满足题意.-3-3 +、据即入 e (8, ) u (,1) u (1,+oc).评注注意当（a+入b）.（入a+b）0时，已包括了向量a+Ab与M+b的夹角为00，即方向相同的情况， 故应排除.本题若改为“ ）b与）a+b的夹角为钝角，求的范围”，同样需用（a+人b）.（入a
13、+b）1e9eGy,7T;7TpIab I1合。日0,了；7TP2：lab I1台。义于泪;其中的真命题是（）A. pp 4B.% P3C. p2, P3D. P2, P4变式3若向量“与b不共线，a b- 0, 且 a- ()b，则向量a与c的夹角为()a bA. 0nB6nd-2三、平面向量的模长求模长，用平方，I a = a2 .n例5.28已知I a = b =5，向量a与b的夹角为3，求I ab , a-b I.分析关系式 a 2 = a2= a a可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求 b ，可求 a-b 2=(a+b).(a+b)，将此式展开，由已知a =b =5，即a2
14、= b2=25，而25ab = a b cos 9 =，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值.2解析因为a2 =a 2= 25,b2 =b 2= 25，a-b = a b cos。= 5x5xcos 生=，32所以 rb 2 = a2 + b2 +2ab = 75, a +b53.同理 ab 2 = a 2+ b22ab = 25, ab =5.评注在求解向量的模长时，常用到如下公式来求解.（1） a 2 = a 2= a a 或 a = a 2 ；（2）a ztb 2 = a2+ b22ab ；（3）若a = 3, y）则 a = Jx2 + y2.变式1已知向量a,b满足a =1,b =
15、2, a,b的夹角为600，则a b=.变式2已知向量a, b满足 a =1,b =2, ab=2,则 rb 等于（）A. 1B 72C 5D.x/6变式 3 在 Mbc 中，已知 AB =3, BC = 4,/ABC = 600 求 AC.例5.29已知向量a,b的夹角为1200,a = 3,b = 一一 一一一121所以麻=面2+修-况应-帝又况口。!所以沂弋,2同理OB2 + OB22 = 2OO2 + t,且 |PA 1=1 BB ,因此OA2 + OP2 = OB】2 + OB；,121 (a)212(b)obob-oa(OB+OB)+OA2 =0合ob Ob -oA(o+oB) =
16、 -Oa212121 图 5-23612又 A = A + A O-O = O-O+O-OO = O + O-OA121212合 OP2 = OB+ OB+ OA +2OB-OB-2OB-O-2OBOA OP2 = OB 2+ OB 2+ OA2_2OA2 号OA2 =2 OP2.12因为me0,2)，所以Oa(4,2故oa 1(,寸2，故选d.解法三：如图5-36 (b)所示建立平面直角坐标系xAy.设 q(a,0),B2(0, b)，则(a,b)，再设 O (x, y)OB1t,得IOB2I=1(x a) + y 1 (*).因为lOPlv,所以(x a)2+(yb)2 ：.X2+(y b
17、)2=124由(*)得(x a )2=1 y 2 且y 2 1，且(yb)2=1 X 2且x 11 一 7-故(x-a)2+(yb)2=2 12 y2二，所以 工2 + y 1 2 ,44一故选D。因此 |0A| = q x2 + y 2 E ，寸 2。评注矩形菌i PB,中。为平面上任意一点，有页2 +屏=0B+空2.一IPA |2 | PB |2（）变式1在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=I PC |2A. 2B. 4C. 5D.10最有效训练题1.下列四个命题中真命题的个数为（）9若见0，则aA Q若a b b e，且，老。贝此=c ；（ab）c=a.
18、（be） ； （a.b）2也2b2.A. 1 B. 2C. 3 D.42.已知向量a=（1，1）,2+b=（4,2），则向量a,b的夹角为（）.nA- 6c. -3nd-23.已知向量a=（1,2）,b二（2，-3），若向量e 满足（c+a）1 lb,ci（a+b），则e =（7 7a. (9,3)7 77 77 7b (-,) c (,)d (-一，-一) B 3 9 C 3 9 D 9 34.已知向量a,b满足a.b=0，| a UJb L2,则12ab L ()A. 0B匕寸匕C. 4D.85. 在直角梯形ABCD中，已知BC 11AD，AB_LAD, AB=4, bc=2, ad=4若
19、p为CD的中点， PAP =（）A. -5 B. -4C. 4D.56. 已知点A（11），B（3,0）, C（2，1）,若平面区域d由所有满足度=A+（竖A2，#4）的点p组成，则d的面积为.7. 已知向量a,b满足| b=2,a与b的夹角为60 0，则b在a方向上的投影是.8.已知=(1,2),力=(1，1),且与“+论的夹角为锐角，则实数4的取值范围是9. 已知向量 “二(很,1)力二(0),c=(k ,必),若2b与c 垂直，则 k =.10. 已知两点M =(_1,0), N=(1,0)，且点p使NMN, PMP, MPM成公差为非负实数的 等差数列.(1) 求点P的轨迹方程；(2) 若。为与e的夹角，求3的取值范围.“已知向量a=(2cos a,2sin a),b=(_sina,cos a),x=+(t2_3)b,j=-ka+tb 且xy=0(1) 求函数k=f(t)的表达式；(2) 若1,3，求/(t)的最大值与最小值.
