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1、2.5.1平面几何中的向量方法一、教学目标重点：用向量方法解决平面几何问题的基本方法和基本步骤.难点：如何构建向量模型将平面几何问题化归为向量问题.知识点：运用向量方法解决平面几何问题三步曲.能力点：发展创新意识，提高转化与化归能力.教育点：通过对新方法的探求，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.自主探究点：三角形四心的向量表示.考试点：利用向量的几何意义进行向量的线性运算与数量积运算.易错易混点：向量基底的选择.拓展点：利用向量证明有关不等式.二、引入新课【师生活动】我们学习了向量的线性运算与数量积运算，1.你能说出它们的几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？(1
2、)向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则(2)向量减法的法则：三角形法则与平行四边形法则(3)平面向量基本定理:r如果e 1, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数人,人使a =人e +人e . 12112 2(4)向量的数量积及其几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影b cos0的乘积.数量积的作用求模求夹角证垂直.(5)向量的模:f Ia 寸 x2y2甘 t（x1%)2 (* y2)22、向量的代数身份是通过什么来实现的？答：坐标表示.当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为代数的勺计算.【设计说明】教师设问，学生
3、思考画图，教师在多媒体实物展示学生的复习成果.设计意图】设置问题，点明主题，让学生回顾学过的知识，明确探究方向，有利于本节课的探究.三、探究新知【情境引入】长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 答：AB2 BC 2 CD 2 DA 2 AC 2 BD 2【师生活动】教师设问，学生画图，集体回答，教师教师在多媒体书写公式结论.设计意图】长方形是特殊的平行四边形，公式结论是学生已知的，为研究平行四边形这个一般问题奠定了基础，体现了由特殊到一般的数学思想.探究1例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图危 AB 顽，亦 AB 顽，类比长方形对角线的长度与两条邻边长度之间的上述关系，
4、你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：题中的几何问题可转化为向量问题吗？【师生活动】分析：不妨设设ABa，顽 b，（选择这组基底，其它线段对应向量用它们表示）a a b,DT a b，ab 2 a2,1顽2 b2.涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算危2,而2解.ro Iac.ac (a b) aA AA Aba bbabb)（1）2ab同理dB2 a2 2ab b2.(2)观察（1）,（柄式的特点，我们发现，（1） （2）得I AC |2 + 网 2 = 2(a |2 + F |2) = 2(网 2 +1 AD |2)即平行四边形对角线的平方和等于两条
5、邻边平方和的两倍.【设计说明】教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系，利用类比的 思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等 于四条边的平方和，并运用向量方法进行证明.【设计意图】借助平行四边形这个向量加法与减法的几何模型，引导学生用向量的数量级证明与长度 有关的几何问题，加强向量方法的“三步曲”的应用.思考2：向量也可以坐标运算，那么本题可以如何建立直角坐标系，设点的坐标转化为向量的坐标进 行运算呢？解:如图建立平面直角坐标系，设B(a,0), D(b, c)，则C(a + b, c)AB = (a,0), AD =
6、(b, c),AC = (a + b, c), DB = (a - b, -c)I AB 1= a,l AD =b2 + c2,I AC =AR = r = nAC = n(a + b), n e R又因为eb=ab - ae=a - 1 b2ER与EB共线，所以我们设尸 17、ER = mEB = m(a - b)因为AR = AE + ER所以一 1丁厂、r = b + m(a 一一 b)22因此1 了- 1-n(a + b) = b + m(a 一一 b),22即-m 1 - -(n 一 m) a + (n +)b = 0.2由于向量a,b不共线,要使上式为0，必须n - m = 0 m
7、 -1 八.n += 02解得1n = m =3所以AR =1 衣3同理TC = 1 京.3于是RT =1 AC.3第三步，把运算结果“翻译”成几何关系AR = RT = TC.【设计说明】此题对学生而言有一定难度，先用几何画板动态演示并展示测量的数据，让学生观察猜 想出结论，师生共同分析，指导学生如何将几何问题化归为向量问题，突破本题难点，引导学生用待 定系数法表示两平行向量，进而解答出此题.通过“举一反三”，让学生熟练应用此题中的数学思想 和方法.【设计意图】通过此题进一步熟悉向量法的“三步曲”的应用，同样重要的是此题应用到了平行向量 基本定理和平面向量基本定理，用向量的数乘表示其平行向量
8、的重要数学思想，和待定系数法这个重 要的数学方法.通过此题启发学生灵活运用向量工具解几何问题.变式练习1.已知AC为圆O的一条直径，ZABC为圆周角.求证：ZABC = 90.AB = AO + OB = a + b, BC = a - b ,A.BC = (a + b).(a - b) = a2 - b 2 = 0AB 1 BC , ./ABC = 90。.【设计意图】让学生学会灵活的利用圆的特性、线段垂直的关系等知识巧妙地将几何问题化归为向量 问题.变式练习2.已知在等腰AABC中，BB, CC是两腰上的中线，且BB1 CC，求顶角A的余弦值.解:建立如图所示的平面直角坐标系，取A(0,a
9、),C(c,0)则B(-c,0),OA = (0, a), BA = (c, a), OC = (c,0), BC = (2c,0).因为BB, CC 都是中线，1 - 3c a、 所以 BB = (BC + BA) = (5,5) 同理 cc=(- 3c, a).因为 BB1 CC,所以一4c2 + 42 = 0,a2 = 9c2. AB ACa2 - c2 9c2 - c2 4所以 cos A =；=| AB II AC I a2 + c29c2 + c2 5【设计说明】教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用 向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标
10、系，找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直 角坐标系，如本例中图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否 利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成.【设计意图】本例利用的方法与探究2有所不同，但其本质是一致的，比较两种解法的异同，找出其 内在的联系，以达融会贯通，灵活运用.课堂练习：1 .向量OA = a, OB = b,且不共线，则ZAOB的平分线OM可表示为(D )ba + ab2 .如图，已知AD,BE,CF是AABC三条高.求证：AD,BE,CF交于一点.由此可设CA = a, CB = b, *CH
11、= h如何证CH AB分析：设AD与BE交于H，只须证CH AB如何证CHAB = 0 ?利用AHCB, BHCA.(解答过程由学生完成)六、课堂小结1. 用向量法解平面几何问题的基本思路 用向量方法解决平面几何的“三步曲”:(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.简述：形到向量 n向量的运算n向量和数到形.2. 本节课用到了哪些思想方法？平面向量的基本定理如果弓弓是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对
12、实数冗,冗，使a = X e +人e .121 12 2说明：(1)作为基底的两个向量必须不共线(2) 用基底可以表示平面内任意一个向量(3) 基底给定时，分解形式唯一.当要表示同一平面内的多个向量时，要想到“向量基底化”思想.【设计意图】使学生把解题过程中的思想方法总结出来，达到思维能力的提升，从而更广泛的应用于 以后的学习中.七、布置作业1 .必做题：课本P113 A组1、2O2.选做题：设过 NAOB的重心G的直线与边OA, OB分别交于点 P,Q，设 OP = xOA, OQ = yOB , AOB与AOPQ的面积分别是S,T ,证明：(1) - + - = 3 ；(2) 1S T 1
13、 S .x y92【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心 3.课后练习自主学习丛书2.5八、教后反思本节知识容量较大，思维量较高，相比较向量的代数运算，向量的几何运算学生往往感到比较困 难，难以把几何问题化归为向量问题.教师可让学有余力的学生课下继续探讨，达到灵活运用.由于本节知识在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点.应引导 学生关注这些知识的交汇.提高学生综合解决问题的能力.本节课遵循新课标的指导思想，把课堂交给 学生，尽量让学生自己通过探究得到知识，对于学生有难度的知识老师给予有梯度的提示引导学生思 考，自己获得知识，效果良好.九、板书设计2.5.1平面几何中的向量方法一、复习引入二、探究新知 探究1三、理解新知四、运用新知 探究2变式练习1,2五、小结课内练习
