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1、问题描述:（1）计算出两种工况下的解析解；（2）用有限元软件解决以下问题：探究单元数量对计算结果的影响；探究边界条件的影响。工况（a），令 u（L）=0 改变到 u（L）=0.02m 工况（b）,令。（L）=?改变到。（L）=P0.1P（1 1）两种工况下的解析解推导过程及结果如下）两种工况下的解析解推导过程及结果如下 看成是平面应力问题来解决，只有板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面 力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化，板很薄，外力又不沿厚度变化 应力沿着板的厚度又是连续分布的，所以，可以认为在整个薄板的所有各点都有 物理方程如下:b=0,0,T=0,0,T=0 0 同时，根据剪
2、应力互等定理 T=0,0,T=0 0 由平衡微分方程，可以知道 db dT -x+y+X X=0 0；dx x dy y db dT -y+y+Y Y=0 0 dy y dx x du u dv v 8 x=dX 点 y=dy7 xy dv v du u=+-dx x dy y(1)(2)(3)3)第 1 种情况：物体在全部边界上的位移分量是已知的，因此边界条件为位移边界 条件 在边界上，我们有 u u=u u=0;0;v v=v v=v v(y y)v v(0)=0,v v(L L)=0o o 1 1，、S X=-(b X-呻 1 1 ,=E 9 y-呻 X)(5)由此可以得到 E.duE.
3、du 8v v、b=(+p+p)x 1 1 p 2 dx x dy y E E,dv v du u、b y=商(否+口京 c-E E (dv v+du u)xy 2(1-p)dx x dy y 代入平衡微分方程 得到 E E z zd d2u u 1 1-p d2u u 1+p d2v v、-(+-+)+X X=0 1 0 1-p 2 dx x 2 2-dy y 2 2 dx xdy y E E d2v v+1 1 -p d2v v+1 1 +p d2u u)+=1 1-p 2 dy y 2 2 dx x 2 2 dx xdy y(6)(7)X X=0;Y Y=p g g 因此根据以上式子可以
4、得到 E E d d 2v v(y y)、八 商)+P g g =（8）对（8）式积分，得到 u u (x x)=0 0 v v(y y)=(p 2-1)1)P g g 2 2E E y y 2+AyAy+B B（9）（10）（11）得到参数:B B=0;A A=(1一四2 2)P gL v v(y y)=Pg(L*2)(Ly Ly y y2 2)2 E E c,Lc,L b=p g g(元y)y)(y)2 2 将数据代入式（13）得到 v v(y y)=P g?厂*2)(Ly Ly y y2 2 )=(y)=(y-y y2 2)x1.69 1.69 x 1010-7 7 m m 2 2E E
5、 b=P g g (L y y)=(1(1 y y)X 7.644 7.644 x10104 PaPa(y)2 2 2 2 第 2 种情况：物体在全部边界上的部分位移分量和应力分量是已知的，条件为混合边界条件 v v(0)(0)=0 0；Q y(L L)=p p .、1 1 U 2 B B=0;0;A A=(p p+pgLgL)x-E E 所以有 心)=2 2 (P+P gL)y-三 E 2 2 b(y)=P+P g(L y)（12）（13）（14）因此边界（15）（16）（17）将数据代入（17）可以得到 心=(P+p g g)y)y-p g g?*?*1 1、1010-7 7 y y-2.
6、2.0606，1010-7 7 y y2 2 b(y y)=p p+P g g (L L y y)=10105+7.644 7.644 x10104(1(1 y y)（18）由解析解 v v(y y)=2)()(Ly Ly-y y2)=(y)=(y-y y2)x1.69 1.69 x1010-7 m m 2 E E b=pg g(L-y y)=(1(1-y y)X 7.644 7.644 x 10104 PaPa(y)2 2 2 2 得到的固定端点处最大应力为 3.822*104Pa；在中间位置位移最大为 4.533*10-8m 应力误差为门=3.822 3.822 X10104-3.798
7、3.798 x 10104 3.822 3.822 1010 x100%=0.62%100%=0.62%位移误差为门=4.533 4.533 x 1010-8-4.225 4.225 x 1010-8 4.225 4.225 1010 x 100%=7.28%100%=7.28%（2 2）计算中采用）计算中采用 AbaqusAbaqus 有限元商业计算软件来模拟题目中的工况有限元商业计算软件来模拟题目中的工况 材料参数见下表 名称 数量 材料密度 p 7800kg/m3 物体长度 L 1m 物体宽度 W 0.1m 弹性模量 E 2.1*1011 重力加速度 g 9.8 泊松比 0.3 载荷 P
8、 0.1MPa 计算单元类型为 S4R，单元数量为 250 工况（a）计算参数设置及结果如下 U.Magnitude IT 4 4.5339-03 1 44.1338-09 Hk 4z：./.rz=-uy+3 明 罪M+3.*有 甘 +2.644&-00+2.26b&-0Q+i.09e-oe 41.51109 41.1330-09 4T.554e 09 5.Mises(fracbon-l.D)(AMQ.75%)I 由计算结果可知，最大应力在固定端处取得，最大值为 3.798*104Pa 由计算结果可知，最大应力在固定端处取得，最大值为 1.791*105Pa 由解析解.、1-U 2 _、V V
9、 2_ _ _ _ _ v v(y y)=X(P P+PgL)ygL)y-pg g 与=8.51x 10一7y y-2.06x 10一7 y y2 E E 2 b(y y)=p p+pg g(L L-y y)=105+7.644x104(1-y y)得到的固定端点处最大应力为 1.7644*105Pa；自由端最大位移为 6.45*10-7m 6.572 6.572 x 1010-7-6.45 6.45 x1010-7 6.45 6.45 x 1010-7 通过有限元计算，可以得到和解析解很接近的结果，通过误差分析表明，有限元计算 此类平面应力问题可以很好地满足计算精度的要求。在工况（a）条件下
10、，计算不同单元数量（单元数量分别为 250、1000、1625）应力 结果如下 应力误差珈=*性竺业x 100%=1.5%100%=1.5%1.7644 1.7644 x10105 位移误差为门=x 100%=1.89%100%=1.89%工况（b）计算参数设置及结果如下 m 949FQm 949FQ 7 7777777777 7777777777 73 3 ODOODODCOOOD ODOODODCOOOD-一一-日曰 葛3400134001毛告上冬。4 4-+-1t M1t M-4dm 4dm TD TD U口口rlcl苕;lr332.UDDDDDSSDDD ;lr332.UDDDDDSS
11、DDD E+E+c c l,m.4.L.l,m.4.L.r rci.5.zci.5.z苦记赠.-5 5：*-+-+-*4 4-+4+4+-*:*:-|-+-在工况（a）条件下，计算不同单元数量（单元数量分别为 250、1000、1625）位移 结果如下 单元数量 应力（Mises 最大值）位移（最大值）250 3.798*104Pa 4.533*10-8 m 1000 4.195*104Pa 4.533*10-8 m 1625 4.378*104Pa 4.532*10-8 m 在工况（员条件下，计算不同单元数量（单元数量分别为 250、1000、1625）应力 结果如下 在工况（员条件下，计算
12、不同单元数量（单元数量分别为 250、1000、1625）位移结果如下-!?!:=:/旧!E:Ei!E:EiILIiE:ILIiE:!Hll!Hll-:.!._:=lL_:=lL!:L:r!:L:r u BBrleBRyBB99a u BBrleBRyBB99a-U U-O O器 2q2q-oEW4a oEW4a H B r a A HH B r a A H-s6WeBHBQ J!s6WeBHBQ J!l l._7.Mm._7.Mm-shKshKL L3 3+1+17D u 37D u 3-.-7Q 7Q Z46HZ46H-L3 37O L3 37O ItIth h-17n 06?b7a 17
13、n 06?b7a 4.%4.%3.:1.3.:1.玉2.?.12.?.11.1.7.3.O.7.3.O.ok4ok4-:4:4-:1 1-+-l l-:B&RB&RS9RB_yQ B&RB&RS9RB_yQ-o o-n n-D D-clcl-n n-D D-o o-rlrl-D D-o o-rl rl ee eeeAeAee eeeAeA-flfl-eAeA-e 357 0240913e 357 02409134 4 7 _ 35702 G_H1357_ 7 _ 35702 G_H1357_-l l7wcl7wclFIFI-?Hm?Hm.l.l57_ 57_ 4 4.d ds.3.3s.3.3
14、-2.Di 2.Di 1 1x x3._ 3._ 十+十+十+-十十+I+4.333e-08+3.777UTI8 心融知 M+3.D2EB 08+E.Ei&e-ae+l.Slle-Cie 5.Mses SNEGJ enaction -i.0)t 亍 i-2.D34ll4D3+1.966m-05+l.B7ga4D5+1.76J1O+Ub+1.7O4fl+D5+1.SMe+05 4 1.441C+D5 十 1.3530+05+1.2-BGfi4D5+l.lZiei-hU5 4-1 W104Q5 寺 l.DDmiai 口可 U,Mgnituda+6.D24fl-07 wu=!=liHiiiirJwu
15、=!=liHiiiirJ T=T=_=_-P;J.IIII:P;J.IIII:=:=:=m:=m:iEE1FiEE1F!L!iF:!L!iF:!-+1.&436-07+l.D95e-07+3.477e-QB+0 DOOe+OO 777V777777777V777777 -D-DW-D-D-D-DWFF+O Gs才；cl.号,l l.mrl.mrlsmQMTsmQMT口 Lq.D.4.yLq.D.4.y-:-旧.2.2.7.i.l.7.i.l-llltD llltD 3322110 3322110 十:mm IIIILlj nn：_：!：一一 _ _-_ _ _ T 7777 ZT 7777 F
16、-o-D-oWF-o-o-Q-rl-oT hJ47Q14clBl3sz口 T272-A:?B304QF 口 土Oqqn-IJE-V-.s-oTq-6A-544J3S211-+X-+*s.+*s.+4 4-单元数量 应力（Mises 最大值）位移（最大值）250 1.791*105Pa 6.572*10-7 m 1000 1.9 69*105Pa 6.572*10-7 m 1625 2.054*105Pa 6.572*10-7 m 由计算结果可以知道，随着单元数目的增加，求得的应力结果会逐渐增大，但是位移 结果几乎不变 Magnitude i+21 DO 0 G-0 2+6.667-03+5.0
17、01&-03 寸 3.334-03+laS67e-03 H-O.DOOe+DO S,Mise SNEG,(fraction LQ)+1.000 在几何形状不变的条件下，改变工况（a）边界条件为 u=0+0.02，结果如下 Si Mises SNEG.I(fraction=-(Avg:75%)I+4.21 Se+09+4.196e+-Q9+4.146e-h09+4,097-09+4.0470 4-09-k3.8e+-09+3.Q48s-Fnq+a.sae-Kog+3.049e-bO9+3.8006+09+3.7S0e+D9+3.7Oie-b0g+3.6Sle-hD9 在几何形状不变的条件下，改变
18、工况（a）边界条件为 u=0-0.02，结果如下位移 u 应力（Mises 最大值）位移（最大值）+0.02m 4.245*109Pa 0.02m 0m 3.798*104Pa 4.533*10-8m-0.02m 4.346*109Pa-0.02m 在工况（a）的条件下，随着边界条件的改变，应力值均有所增大，并且在整个物 体范围来看，物体几乎均处于最大应力状态情况下 在几何形状不变的条件下，改变工况（员边界条件为 P=P+0.1P，结果如下 在此几何形状及工况（b）条件下：通过改变 P 的大小可以得到应力及位移变化在几何形状不变的条件下，改变工况（b）边界条件为 P=P-0.1P，结果如下 载
19、荷 应力（Mises 最大值）位移（最大值）0.9P 1.689*105Pa 6.097*10-7 m P 1.791*105Pa 6.572*10-7 m 1.1P 1.893*105Pa 7.048*10-7 m 在工况（b）的条件下，随着边界载荷的增大，应力值和位移值均有所增大。总结：（1）通过解析解和有限元解法的对比，可以知道，有限元方法可以很精确地求解此类 问题；（2）单元的数目会影响计算结果，单元数目增加，求得应力结果偏大，但位移结果几 乎不变；（3）相同几何形状下，两种工况中，改变边界条件对计算结果影响都很大，增加载荷 使得物体的应力和位移均有所增大；（4）在相同边界条件下，通过适当地改变几何物体的形状可以显著改变物体的应力和 位移情况；（5）通过实例的计算，我对求解弹性平面应力问题的解析解推导和有限元方法数值都 有了一定的了解，期待以后能发挥更大的作用。
