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1、第5章静定结构的内力分析5.1轴向拉伸与压缩杆件5.1.1轴向拉伸与压缩及工程实例轴向拉伸或轴向压缩变形是杆件基本变形之一（图5-1,图5-2）。轴向拉伸或压缩杆件简称为轴向拉压杆。图5-1图5-25.1.2轴向拉压杆的内力杆件在外力作用下将发生变形，与此同时，杆件内部各部分间将产生相互作用力，此相 互作用力称为内力。5.1.3轴力图在多个外力作用时，由于各段杆轴力的大小及正负号各异，所以为了形象的表明各截面 轴力的变化情况，通常将其绘成轴力图。5.2扭转杆件的内力如图5-7中杆AB受一对等值反向的外力偶作用，外力偶位于垂直杆件轴线的平面内， 此时，杆件的各横截面将绕杆件轴线发生相对转动，此种
2、变形称为扭转。外力偶矩值与功率的换算公式如下AB图5-7M = 9550 （N - m）（5-1）5.3平面弯曲梁5.3.1平面弯曲的概念弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。其变形特点是:杆的轴线被弯曲成一条曲线。这种变形称为弯曲变形。为了计算梁的强度和刚度，首先应确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。求内力仍然应用截面法。现以图5-13(a)所示简支梁为例，说明求梁任一横截面上的内力的方法。图 5-13图 5-14根据梁的平衡条件，先求出梁在荷载作用下的支座反力%和方然后用截面法计算 其内力。平衡方程为Z F = 0, FA - F = 0, F = FAFS是横截面上切向分布内力分量的合
3、力，称为剪力。平衡方程为Z M = 0 M - FA x = 0 M = FA xM是横截面上法向分布内力分量的合力偶，称为弯矩。5.3.3剪力和弯矩的直接计算法梁的任一横截面上的内力是考虑一侧分离体平衡求得的，进而可得出下列结论：(1) 梁的任意横截面上的剪力，在数值上等于该截面左侧或右侧梁段上所有竖向外力(包括支座反力)的代数和。(2) 梁的任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面左侧或右侧梁段上所有外力(包括 外力偶)对该截面形心的力矩的代数和。5.4荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系5.4.1荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系(5-4)d2M (x) dF (x)()dx 2dx(1)梁
4、的某段上没有分布荷载，即q=0时，该段梁的剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。(2)梁的某段上有均布荷载，即q(x)=常数时，则剪力图为斜直线。将上述剪力图和弯矩图的规律以及上节中对有集中力和集中力偶作用截面的两个结论列成表5-1，以便于记忆。表5-1常见荷载作用下剪力图和弯矩图的形状5.4.3剪力图和弯矩图的简便方法由表5-1可见，当梁上的外力已知时，梁在各段内的剪力图和弯矩图的形状及变化规律 均已确定。因此，画内力图时，只要根据梁上外力情况将梁分为几段，每段只需计算出几个 控制截面的内力值，然后根据表5-1荷载对应的剪力图和弯矩图连线，就可画出内力图。5.5用叠加法作剪力图和弯矩一悬臂梁上作用
5、有均布荷载q和集中力F (图5-26 (a)，梁的固定端处的反力为FB = F + qlM = Fl + 2 ql 2图 526在距左端为x处任一横截面上的剪力和弯矩分别为FS(x) = -F - qxM (x) = - Fx - 2 qx 2各式中第一项与集中力F有关，是由集中力F单独作用在梁上所引起的反力和内力(图5 26(b)；各式中第二项与均布荷载q有关，是由均布荷载q单独作用在梁上所引起的 反力和内力(图526(c)。两种情况的内力值代数相加，即为两项荷载共同作用的内力 值。这种方法即为叠加法。 5.6静定平面刚架平面刚架是由梁和柱用刚性结点连接所组成的静定平面结构。平面刚架可分为静
6、定刚 架与超静定刚架。1. 静定刚架支座反力的计算与求梁的内力一样，在静定刚架的内力分析中，通常也是先求支座反力，然后再求截面 的内力，绘制内力图。2. 绘制内力图求解梁的任一截面内力的基本方法是截面法，这一方法同样也适用于刚架。可用截面法 求解刚架任意指定截面的内力。 5.7三铰拱的有关概念及内力计算拱结构是工程中最早使用的一种结构形式，在现代工程中仍在广泛地使用。图5 31a所示即为一常见的拱结构一一三铰拱。图 5-315.7.1三铰拱的内力计算三铰拱是静定结构。其全部约束力和内力都可由静力平衡方程求出。1. 支座反力的计算图5-33 (a)中所示三铰拱的支座反力共有四个。f _版 if工
7、FaVBlFHF - - F (l - a ) - F (l - a )r = VA 21212、22biE力3图 5-332. 内力的计算在外力的作用下拱中任一截面的内力有弯矩、剪力和轴力。图 5-34(1) 弯矩计算由M (F) = 0, F x - F (x - a ) - F y - M = 0kVA k 1 k 1 H k kM =【F x F (x a )-F yk VA k 1 k 1 H k(2) 剪力计算由K截面以左各力沿该点拱轴法线方向投影的代数和等于零，可得F = F cos 甲 -F cos 甲 -F sin 甲 =(F - F )cos 甲 -F sin 甲Sk VA
8、 k 1 k H k VA 1k H k(3) 轴力计算由K截面以左各力沿该点拱轴切线方向投影的代数和等于零，可得F = -(F - F )sin 甲-F cos 甲NkVA 1k H k5.7.2拱和梁的比较-拱的合理轴线在竖向荷载作用下，梁没有轴力，只承受弯矩和剪力，不如拱受力合理，拱比梁能更有 效地利用材料的抗压性。拱对支座有水平推力，所以设计时要考虑水平推力对支座的作用。M (x) = M 0(x) - F y (x) = 0H(5-11),、M 0( x)y(x) = lFH上式即为拱的合理轴线方程。5.8静定平面桁架5.8.1概述静定平面桁架是没有多余联系的静定平面结构，是由若干直
9、杆用铰连接而组成的几何不 变体系，其特点是：(1) 所有各结点都是光滑铰结点。(2) 各杆的轴线都是直线并通过铰链中心。(3 )荷载均作用在结点上。5.8.2结点法结点法是计算简单桁架内力的基本方法之一。结点法是以桁架的结点为分离体，根据结 点平衡条件来计算各杆的内力。5.8.3截面法截面法是用一适当的截面将桁架截为两部分，选取其中一部分为分离体，其上作用的 力系一般为平面任意力系，用平面任意力系平衡方程求解被截割杆件的内力。5.8.4几种梁式桁架受力性能的比较为在工程实际中合理地选择桁架形式，下面对常用的几种桁架：平行弦桁架、三角形桁 架、抛物线型桁架的内力分布进行对比。图 5-43图5-4
10、3给出三种桁架在相同荷载、相同跨度、相同高度条件下各杆的内力值，由桁架 内力分布图，可以得到如下结论:(1)图5-43 (a)中的平行弦桁架的内力分布不均匀。上、下弦杆的内力，随其位置向 跨中靠近而递增，腹杆的内力随其位置向跨中靠近而递减，内力变化较大。(2)图5-43 (b)中的三角形桁架的内力分布也不均匀，上、下弦杆的内力，随其位 置向支座靠近而递增，支座处最大。腹杆的内力随其位置向支座靠近而递减。(3) 图5-43 (c)中桁架的上弦杆各结点位于抛物线上。抛物线型桁架的内力分布均 匀，受力比较合理。小结1. 截面法是求内力的基本方法。截面法的步骤可简单归纳为：(1)截开；(2)代替(把
11、去掉部分对留下部分的作用用内力代替)；(3)建立留下部分的平衡方程。2. 杆件内部的内力分为轴力、扭矩、剪力和弯矩。为了计算方便，对轴力、扭矩、剪力 和弯矩的正负号都做了规定。求内力时，应把截面上的内力按正值方向假设。3. 平面弯曲是杆的基本变形之一。梁弯曲内力中剪力和弯矩的计算及正确画出梁的剪力 图和弯矩图，是对梁进行强度和刚度计算的基础。4. 正确求出支反力和正确确定剪力和弯矩的正负号，是掌握梁的内力分析的关键。应清 楚理解，熟练掌握。4. 求梁的任意横截面上的剪力和弯矩的方法有两种，即截面法和直接计算法。截面法是 基本方法，而直接计算法则比较简便。用直接计算法求指定截面剪力和弯矩的关键为
12、：根据 剪力、弯矩的正负号规定，正确的判定每项外力引起的剪力、弯矩的正负号。5. 画剪力图和弯矩图有两种方法，列出剪力方程和弯矩方程来画内力图是基本方法；利 用微分关系及由此归纳出的表5-1中的规律画内力图是简便方法。简便方法的关键是熟记表 5-1中的规律及熟练掌握控制截面的剪力和弯矩的算法。6. 画内力图时要注意梁上有集中力和集中力偶作用的截面内力要发生突变的规律。7. 作刚架内力图的基本方法是将刚架拆成单个杆件，求各杆件的杆端内力，分别作出各 杆件的内力图，然后，将各杆的内力图合并在一起，得到刚架的内力图。值得注意的是：(a) 弯矩不作正负号规定，弯矩图一律画在杆件受拉一侧。剪力图、轴力图可画在杆 件的任意一侧，但必须标出其正、负号。(b) 结点应满足平衡条件。8. 三铰拱的内力计算，就是用截面法求曲杆的内力。为便于应用，将内力计算结果引用 相应梁的弯矩和剪力表示。这样，求三铰拱的内力归结为，求水平推力和相应梁的弯矩、剪 力，然后代入式(5-8)式(5-10)即可。9. 桁架是由轴力杆组成的结构。求桁架内力的基本方法是结点法和截面法。前者以结 点为研究对象，用平面汇交力系的平衡方程求解内力；后者以桁架的一部分为研究对象，用 平面任意力系的平衡方程求解内力。结点法实质也是截面法，只不过选用的截面是围绕结点的封闭曲线截面。无论采用哪种 方法，画受力图时一律假定杆件受拉。
