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1、T 0 = 0r0 r=bT J = 0r0 r=a(3)b b dr = P cos 0a 0b t dr = P sin 0r01. 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中:平衡微分方程,应力边界 条件。2. 组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程(变形协调条 件)。3. 等截面直杆扭转问题中，2 中dxdy = M的物理意义是 杆端截D面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。4. 平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数甲在边界上值的物理意义为 边界上某一点(基准点)到任一点外力的矩。5. 弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：1 /、b + X = 08= (u +
2、u )j, Ji ij 2 i, jj ,i 1. 试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的 面力(主矢与主矩相同)，则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力 所受影响可以忽略不计。作用:(1)将次要边界上复杂的面力(集中力、集中力偶等)作分布的面力代 替。将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2. 图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数甲的分离变量 形式。题二(2)图J 甲(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 (a)j甲(r ,0) = r2 f (0) 甲(x, y
3、) = ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3 j甲(r ,0) = r3 f (0)3. 图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力p,板的几何尺寸如图，材 料的弹性模量困、泊松比口已知。试求薄板面积的改变量安。题二(3 )图设当各边界受均布压力q时，两力作用点的相对位移为/。由18 = e (1一旦)q 得，a i - .；q受 a2 + b2,AZ = 8 圮 a2 + b2 =(1 Li)E设板在力p作用下的面积改变为AS，由功的互等定理有：q AS = P AZ将AZ代入得： 1 u -AS =Pa2+b2E显然，AS与板的形状无关，仅与E、U、l有关。4. 图示曲
4、杆，在r = b边界上作用有均布拉应力q,在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件(除固定端外)。题二(4)图 b I= q，r r=b(2) b I= 0,r r=aj bb&rdr = Pcos0 a ； b5. 试简述拉甫(Love)位移函数法、伽辽金(Galerkin)位移函数法求解空间 弹性力学问题的基本思想并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：(1)变求多个位移函数u(x,y),v(x,y),w(x,y)或ur (r ,0), u0 (r ,0)为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。(2)变求多个函数为求单个函数(特殊函数)。
5、适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1.图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单 位宽度上集中力的值为P,设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为中一 A sin2e+ Be）（13 分）题三（1）图解： d很小，M = Pd，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。将应力函数中（r，e）代入，可求得应力分量:r 8rr 2 8e边界条件:8e_ a sin2e(2 A cos 2e + B)ie=0=0,e=0=0rer丰01(2 A + B)
6、= 0或2A + B = 0（2）取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有： r具re，和M = Pd由该脱离体的平衡，得C污j 2 t r 2 de + M = 0角 rO 2将t re代入并积分，有j 2 -1(2 A cos 2e + B)r 2de + M = 02 r2A sin2effi-2 + M = 0n-2（2）联立式（1）、（2）求得:PdPd代入应力分量式，得2Pd sin2e兀r 2e= 0 ；2Pd sin 2 e兀r 2e le=兀=0，r力0tre le=Kr力0=0结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差 较大，离原点较远处可适用。2.
7、图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力 x由材料力学公式 给出，试由平衡微分方程求出T ， y，并检验该应力分量能否满足应力表 示的相容方程。代入应力分量式，有解：（1）求横截面上正应力 Xqh 3任意截面的弯矩为M 一 一荀X3，截面惯性矩为1 - 12，由材料力学计算公式有（2）2q企 x 3 y lh 3（1）由平衡微分方程求方xy88c八-X + xy + X = 08x8y8t8”x + _ y + Y = 08x8y其中，X = 0，Y = 0。将式（1）代入式（2），有iy8y积分上式，得T -X2V2 + f(X)打 ni利用边界条件：T rvx2/?2 + y (x)
8、 = 0 Hn4/h31即将其代入第一式，得足。（2）梁右端的边界（* = /）：p ,2q X312 c | ay = J 2 o _* * x=Z lh322y dy = Ox=l(4)q q q x-x=rx自然成立。Be | ydy=h-y2 dy=顶 X x=l 顶 Ihi将式（4）代入式（3）,有粉 3-扩）+%二将匕*）代入。、.的表达式，有y(5)_顼2) lh3 74积分得6q Q- Z3一!力2)+ /3)i2利用边界条件:得:c 7林2q ,3 2 0 V33例_k2所求应力分量的结果：My2qc = o- X3 yx Ilh3(6)校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边
9、界（x = 0）：f 2 a | dy = Q J2 t tZy = 0x x=o ， xy x=q 22代入后可见：自然满可见，所有边界条件均满足。检验应力分量 x具勺，）,是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为V2（c +b）=（祟+ 再9 +。）= 0X V 办2 dyl X V将应力分量。疽1*.。式（6）代入应力相容方程，有|（七+叩=_碧矿导（七12q+ by lh3V2(cj +c )=(祟+ 当(。+cX ydr 2 dy2 X y、24q)=-y 湘显然，应力不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该 该问题的正确解。3. 一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为，抗弯刚
10、度政为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为如梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数W（x）；（2）用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系 数）。题二（3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为w( X )x 2( A + A2 x + A3 x 2 +多项式函数形式w( x)m A (1 - cos 竺竺)m1m=1三角函数形式此时有:w(x) = x 2( A + A x + A x 2 +)| = 0x=0即满足梁的端部边界条件。t疽2MPa，试求梁的总势能为n=2 !ei2dx -取：w(x) = A1 x2，有d
11、2 w , =2 A w(1) = A 12 dx21，1代入总势能计算式，有 n = 2 J,1w(x) = 2x(A + A x + A x2 +)+ x 2( A + A3 x +Jl qw( x)dx + 2 k W(1 )LEI(2A )2dx-lqx2A dx + k(A 12)210121=2 EIlA 21经过该（12 分）点的平面x+3y + z =1上的正应力。得其法线方向单位矢量的方向余弦为m = .V 12 + 32 + 124 EI1A + kAl 4 - q 13 = 0A _ q 13 汇 3=EI1 + k14)x=0代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为w(x) = 2E A (1 -mm = 12mm、 cos)x=0w( x) =q013x 23(4 EI1 + k14)w，( x) = 2E Amm=1.2mKx sin2m兀1=04.已知受力物体内某一点的应力分量为：b x=0，b = 2MPa，x=00 1 2111b =1 2 0l)=mij一 一 .，11L2 0 1n1v 12 + 32 +12=Il 死=012120 _201、1131-31 q11=k7 3】I 1 r 1129112.64 MPa
