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1、,2.2.2 椭圆的简单几何性质,复习：,*,2,1.椭圆的定义:,到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程是：,3.椭圆中a,b,c的关系是,a2=b2+c2,焦点在x 轴上,椭圆的标准方程,焦点在y 轴上,F1(-c，0),F2(c，0),F1(0，c),F2(0，-c),Ax2By21（A0，B0，AB）,椭圆的一般方程,一、椭圆的范围,即,-axa-b yb,结论：椭圆位于直线xa和yb围成的矩形里,*,6,关于x轴对称,关于y轴对称,关于原点对称,二、椭圆的对称性,二、椭圆的对称性,结论：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形,对称轴
2、是x轴和y轴，对称中心是原点,中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心,8,从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。,即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为对称中心。,练习：1.已知点P(3，6)在 上,则(),(A)点(-3,-6)不在椭圆上,(B)点(3,-6)不在椭圆上,(C)点(-3,6)在椭圆上,(D)无法判断点(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在椭圆上,三、椭圆的顶点,顶点：椭圆与它的对称轴的四
3、个交点，叫做椭圆的顶点。,o,x,y,B1(0,b),B2(0,-b),A1(-a,0),A2(a,0),令x=0,得y=？说明椭圆与y轴的交点为(0,b)、(0,-b),令y=0,得x=？说明椭圆与x轴的交点为(a,0)、(-a,0),三、椭圆的顶点,长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。,a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？,焦点落在椭圆的长轴上,椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b。,长轴：线段A1A2；,长轴长|A1A2|=2a,短轴：线段B1B2；,短轴长|B1B2|=2b,焦 距|F1F2|=2c,a和b分别叫做
4、椭圆的长半轴长和短半轴长；,焦点必在长轴上；,a2=b2+c2，,B2(0,b),B1(0,-b),b,a,c,椭圆的简单几何性质,a,|B2F2|=a；,由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.,小 结：,*,14,根据前面所学有关知识画出下列图形,（1）,（2）,A1,B1,A2,B2,B2,A2,B1,A1,四、椭圆的离心率,1离心率的取值范围：因为 a c 0，所以0e1,2离心率对椭圆形状的影响：,1)c 越接近 a，e就越接近 1，b就越小，椭圆就越扁,观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？椭圆的形状有何变化,2)c 越接近 0，e就
5、越接近 0，b就越大，椭圆就越圆,3)c=0(即两个焦点重合）e=0，则 b=a，椭圆方程变为x2+y2=a2（圆）,即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。,结论：离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆,小试身手：2.说出椭圆 的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:,练习：,3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?,根据：离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆,练习1：比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？,*,20,例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,10,8,6,80,分析：椭圆方程转化为标准方程为：,a=5 b=4 c=3,o,x,y
6、,练习,1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为。3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为。,4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=_,1椭圆标准方程,所表示的椭圆的存在范围是什么？,2上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？,3椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？,4对称轴与长轴、短轴是什么关系？,52a 和 2b是什么量？a和 b是什么量？,6关于离心率讲了几点？,回 顾,|x|a,|y|b,|x|b,|y|a,关于x轴，y轴，原点对称,（a,0）;(0,b),（b,0）;(0,
7、a),(c,0),(0,c),长半轴长为a,短半轴长为b.,焦距为2c,a2=b2+c2 ab0 ac0,一个框，四个点，注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现,课堂小结,用曲线的图形和方程,来研究,椭圆的简单几何性质,课前练习1,*,26,例2 椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程,分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置,椭圆的标准方程为：；,椭圆的标准方程为：,解：（1）当 为长轴端点时，,（2）当 为短轴端点时，,，,综上所述，椭圆的标准方程是 或,*,27,已知椭圆 的离心率，求 的值,由，得：,解：当椭圆的焦点在 轴上时，,当椭圆的焦点在 轴上时，,由，得，即,满
8、足条件的 或,练习2：,*,28,测试,1、在下列方程所表示的曲线中,关于x轴,y轴都对称的是(),2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率，长轴长为6，,则椭圆的方程 为（）,D,C,练习 求经过点P(4,1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.,解：,练习 求经过点P(4,1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.,解：,复习练习：1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（）,C,例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：1.经过点P（3,0）、Q（0，2）；2.长轴的长等于20，离心率等于.,注意：焦点落在椭圆的长轴上,注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，必须讨论两种情况,练
9、习,2.离心率为,且过点(2,0)的椭圆的标准 方程为 多少?,课本47页例题6,36,直线与椭圆的位置关系：,5.已知椭圆的一个焦点为F（6，0）,点B，C是短轴的两端点，FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。,6、已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程。,一、直线和椭圆的位置关系,通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。,2、弦长公式：,第二种方法是处理直线和椭圆位置关系的常用方法，利用根与系数的关系,设出交点坐标，但是不求出，从而求出弦长。,这种方法称为设而不求，这个公式叫做弦长公式
10、。,48,49,差分法,直线与椭圆：,（2）弦长问题,（3）弦中点问题,（4）与垂直有关的问题,（1）直线与椭圆位置关系,P(2,1),60,61,62,63,64,65,y,66,1.对于椭圆的原始方程,变形后得到,再变形为.这个方程的几何意义如何？,新知探究,O,x,y,F,椭圆上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的距离与它到直线 的距离之比等于离心率.,新知探究,若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0e1)，则点M的轨迹是椭圆.,新知探究,直线 叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(c，0)的准线方程是,新知探究,椭圆 的准线方
11、程是,新知探究,椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是,新知探究,对于椭圆,椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是,最大值为a，最小值为b.,新知探究,椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？,新知探究,点M在椭圆上运动，当点M在什么位置时，F1MF2为最大？,点M为短轴的端点.,新知探究,椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆的焦半径公式.,|MF1|aex0,|MF2|aex0,新知探究,椭圆 的焦半径公式是,|MF|aey0,新知探究,例1 若椭圆 上一点P到椭圆左准线的距离为10，求点P到椭圆右焦点的距离.,12,典型例题,例2 已知椭圆的
12、两条准线方程为y9，离心率为，求此椭圆的标准方程.,典型例题,课堂小结,1.椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于椭圆的离心率，这是椭圆的一个重要性质，通常将它称为椭圆的第二定义.,H,d,(a,0),a,(0,b),b,(-a,0),a+c,(a,0),a-c,83,84,85,86,课堂新授,例3.点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到 定直线l:x=的距离的比是常数,求点 M的轨迹.,例2.点M（x,y）与定点F（4,0）的距离和它到 定直线l:x=的距离的比是常数,求点 M的轨迹.,d,变式1、点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线 x=8的距离的比是1:2,求
13、点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。,练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程,(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴 长是6且cosOFA=2/3;,(1)椭圆过(3,0),离心率e=;,练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程,(1)在 x轴上的一个焦点与短轴两端点得连线互相 垂直,且焦距为6；,(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴 长是6且cosOFA=2/3;,(3)椭圆过(3,0),离心率e=;,92,93,2答案,3答案,94,95,96,一般地,思考3,97,法二,98,99,100,101,3答案,102,本课小结,103,二、焦点三角形的面积问题,推广：,四、椭圆上的点到焦点距离的最值,三、求椭圆的离心率,1.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是.,知识巩固,
