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1、变式1 如图，已知在 ABC中，AD 1 AB变式1 如图，已知在 ABC中，AD 1 ABuurBC =DuutrADumrAD = 1【学习目标】基底法、坐标法、几何法是处理平面向量问题的三个纬度，本节主要从基底和坐标 角度研究几何图形中向量数量积的问题.【典例精讲】例 1 如图，在 ABC 中，ABAC =竺，AB = 2, AC = 1, D 是边BC上一点，DC = 2BD ,uur uur则 AD - BC =uur uuruuur uur例 2 如图，在 ABC 中，D，E分别是BC，AD 的中点，BA- CA = 4，DC - DB =-1，uuur uuur则BE - CE的
2、值是uur uuurAC - AD =umr umrunrumr变式1如图，在四边形ABCD中，AB - AD = 5 , BD = 4 , O为BD的中点，且AO = 3OC ,uuur uuur则 CB-CDuujr uur变式2如图，在ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上两个三等分点，BA CA = 4 ,uuur uuuruuur uuurBF - CF = -1，则 BE - CE 的值是.uuur uuur uur uuuruuur uur1.在边长为1的正三角形ABC中，设BC = 2BD，CA = 3CE，则AD BE =【反馈提炼】uuur uuur则CEAB则CEAB=
3、uuur uuur umr 1 uur uur uur2.如下图，在 ABC 中，AB = AC，BC = 2，AD = DC，AE =1EB .若BD AC =-【学习目标】基底法、坐标法、几何法是处理平面向量问题的三个纬度，同时也是处理几何图形中向量数量积的重要方法.【典例精讲】例 1 如图，在 ABC 中，ABAC 竺，AB = 2, AC = 1, D 是边BC上一点，DC = 2BD , 3uur uuir.urnr uur则 AD - BC =uur解析 AD,BC模长未知（BC尚可求出），夹角未知，所以很难直接求出数量积.uur uur考虑是否有合适基底，ZBAC = 120o,
4、AB = 2,AC = 1,uur uur 可计算出 AB - AC AB - AC cos120o =-1,进而对于 AB, AC , 模长均已知，数量积已求，条件齐备，适合作为基底.uur uur uuur uur uur uur uur uur 1 uur 2 umr 用 AB, AC 表示 AD - BC : BC AC - AB , AD = -AC + -AB , 33uur uur uur uur、(1AD - BC = AC - AB)-2 uuur3 )uuur-AC+二AB 3i uuir i uuur umr 2 uur=_ AC2 + AB - AC-AB2 -33变式
5、1如图，已知在 ABCuur_uuir中，AD AB，BC =、：3BDuurAD = 1,则.uur uuuruur uurAC - AD =uuur uuur 解析 观察条件，AC, AD很难直接利用公式求解考虑选择两个向量表示AC, AD,uuruur uur条件中AD AB n AD - AB = 0（数量积有了），AD = 1 （模长有了）uuur uuurDC - DB = -1,.解析4uuur uuur变式1如图，在四边形ABCD中，AB - AD = 5，uuur uuurBD = 4，O为BD 的中点，且 AO = 3OC，uur uur所以考虑用AB, AD作为基底.uu
6、uuur_uur下一步只需将AC表示出来，BC =（3BD n BD : CD = 1:3 -1uur；3 1 uur 1 uur（底边比值联想到“爪”字型图）AD =、AB + 土 AC,33uur _turuur解得：AC = 3 AD -b - 1AB ,uur uur ( _uuruur) uur _uur 一所以 AC - AD =3 AD - 气：3 -UAB九 AD = AB 3 AC AB 3 AB 3 AC1222 + _人2 一_一3 AB 3 AC 3 AC AB1私Q AB = 3，AC = 2 . = 3x2x _= 3原式=人一3 + 人一2 = 6,.人=3故实数
7、人的值为3 .AB AC23微专题：平面向量数量积的解题策略【学习目标】熟练掌握平面向量应用的三个纬度：基底、坐标、几何.体会数形结合思想、转化与化归思想在平面向量与其它知识点交汇处的应用.【温故习新】1.已知 a=2，b=3，a,b 的夹角为 120，则a+b=.uur uurunr uur2.若O ABC所在平面内一点，且满足AB - AC = AB + AC，则ABC的形状为3.已知非零向量a,b满足ai = a + b = 1，a,b的夹角为120，则|b|=【释疑拓展】例1.设a,b,c是单位向量，且a = b + c，则向量a,b的夹角等于变式1.设a,b,c是单位向量，a 1 b
8、，则(a+b + 2c) c的最大值是变式2.已知向量a = (1,1)，b = (-1,1)，设向量c满足(2a-c)(3b-c) = 0，则|c|的最大 值为.变式3.已知向量a,b满足 = 1，(2a+b)(a-2b)= 0，则|b|的最小值为.uuur unrDC DB = -1，uur uur例2.如图，在ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，BA CA = 4，uur uur则BE CE的值是JB D cuuur uuuruuur uuur变式1.如图，在四边形ABCD中，AB AD = 5，BD = 4，O为BD的中点，且AO = 3OC，uuur uuur则 CB CD =A
9、Cuur uur 变式2.如图，在ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上两个三等分点，BA CA = 4，uuur uuuruuur uuurBF CF = -1，则 BE CE 的值是【反馈提炼】1. a,b为单位向量，若a-4b = 3豆，则a + 4b =.unr uuur uur uur uur z 、2, 在 ABC 中，ZA = 60。，AB = 3, AC = 2 .若 BD = 2DC , AE = X AC - AB Q g R ), uur uur且AD - AE = 6，则实数人的值为.【学习目标】熟练掌握平面向量应用的三个纬度：基底、坐标、几何，体会数形结合思想、转化
10、与化归思想 在平面向量与其它知识点交汇处的应用.【温故习新】1. 已知阁=2 , 0| = 3, a, A 的夹角为 12。，则 +b =.,一 v V解析 由题意可得：a -b = 2x3xcos12。= -3 ,则上 a + b =+b) =la2 + 2a -b + b2 = J4- 2x3 + 9 = V7 .uur uur uur uur2. 若O是ABC所在平面内一点，且满足AB - AC = AB + AC，则ABC的形状为解析ABAC = AB+AC，由此可得以AB.为邻边的平行四边形为矩形.ABAC = 90，得AAB C的形状是直角三角形，故答案为直角三角形.原题：若0是A
11、ABC所在平面内一点，且满足OB-OC = 0B + 0C-20A，则AABC的形状 为. _ _ - _ _. _ _ -解析 :CB =OB-OC，AB =OB-OA，. 0B - 0C = 0B + OC - 20A，即CB = AB+ACCB =AB-AC，：.AB - AC = AB + AC，由此可得以而、AC为邻边的平行四边形为矩形.ABAC = 90，得AAB C的形状是直角三角形，故答案为直角三角形.3. 已知非零向量a,b满足a = a + b = 1，a,b的夹角为12。，则|b| =.解析1 .【释疑拓展】例1.设a,b,c是单位向量，且a = b + c，则向量a,b
12、的夹角等于.解析3.变式1.设a,b,c是单位向量，a 1 b，则(a+b + 2c) c的最大值 .解析2+w2 .变式2.已知向量a = (1,1), b = (1,1)，设向量c 满足(2ac)(3b c) = 0 , 则|c|的最大值为.解析、云.变式3.已知向量a,b满足H = 1, (2a+b)-(a 2b) = 0,则|b|的最小值为uujr uuruur unr例2.如图，在 ABC中，D , E分别是BC , AD的中点，BA - CA = 4 , DC - DB = 1，则uur uurBE - CE的值是解析uuur uuur变式1.如图，在四边形ABCD中，AB - A
13、D = 5 , BD = 4 ,uuur uuurO为BD的中点，且AO = 3OC，uuur uuur则 CB - CD =解析 在VABD中，由余弦定理可得:uuvuuu/uuuv uuuv uuuvAB2 + AD2 = BD2 + 2 AB - BD = 16 +10 = 26，uuv uuv uav uuv 4 uuu/ uuv 4 1 (uuv uuuv 1 uuv 2 uuuv由题意可得： CB = AB AC = AB AO = AB x VAb + AD)= AB AD ,33233uuuz uuu/ uuuv uov 4 uuu/ uuu/ 4 1 fuuui uuu/1u
14、uv 2 uuivCD = AD AC = AD AO = AD x _(AB + AD 心一AD AB，33233uuu/ ) 5 uuv uuu/+ AD249 AB - AD = 3,故答案为3 .uuv umv (1 uuv 2 uuu/W 1 uuu/ 2 uuv:-AB AD-133故CB-CD =-AD AB人33 )2=变式2.如图，在8。中，D是BC的中点，E,F是AD上两个三等分点，uur uurBA - CA = 4 ,uuur uuruur uurBF - CF = 1,则 BE - CE 的值是uuuruur uur uur uur解析解法一(基底法)：令 DC =
15、a，DF = b，则 DB = a，DE = 2b，DA = 3b，uuruuruur则 BA = a + 3b，CA = a + 3b，BE = a + 2b，uuuruuuruuuruur uuruur uuur故BA-CA = a2 + 9b2 = 4，BF-CF = a2 + b =1，因此a213b2 = 58uur uur4 x 5 13 7故 BE - CE = a 2 + 4b 2 =878解法二（建系法）：可以考虑以D为原点，BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如 图所示的平面直角坐标系，不妨设C（a,0），F（b,c），则B（a,0），E（2b,2c），A（3b,3c
16、）.CE = a + 2b， BF = a + b， CF = a + b，uuur uuurBF - CF = b2 + c2 a 2 = 1，uuruuruur则 BA =(3b + a,3c)，CA =(3b a,3c)，BE =(2b + a,2c)uuruuruurCE = (2b a,2 c)， BF = (b + a, c)， CF = (b a, c)uuur uur由题意 BA- CA = 9b2 + 9c2 a2 = 4，13.5 咽哽.4 x 5 13 77因此 a2 = 一， b2 + c2 =，故 BE - CE = 4b2 + 4c2 a2 =一 一 = .故填一.888888【反馈提炼】1. a,b为单位向量，若|a-4b = 3/=+ BDDCAD AB BD AB 3 BC AB 3 AC AB3 AB 3 AC(12 )()1.12、2则一=-+ 认一 / X 2 + X 2 AD AE 3 AB 3 AC )AC AB3 AB AC 3 AB3 AC3 AC AB1私Q AB = 3，AC = 2 . = 3x2x _= 3原式=X-3 + X-2 = 6,.X = 3故实数X 的值为3 .AB AC23
