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1、V与。的关物体在轨道上任意一点的速度V与。的关求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数恰好满足 =。为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度V。而滑动，如图一，求：/!(3)系，设。为速度与水平线的夹角。解：物体在某一位置所受的力有：重力G, 弹力斤以及摩擦力了。摩擦力了总是与运动速度v的方向相反，其数值f = yz/V = /img cosa = t geo ng cosa = mg sin a重力在斜面上的分力为G.如图二，将弓分解为两个分力：是功沿轨迹切线方向的分Gi力，G： = G sin = mg sin asm。: C；是沿B轨迹法向的分力， 2G； =
2、 G COS0 = 7g sinocos。，如图三。图根据牛顿运动定律，得运动方程为G：- f = mar（ 1）/ _由（1）,aT = (7g sin。sin。一7g sin a) = suia(sui-l) mdV “ar 得到dV = g siii a(siii (p -1)山,式中。是t的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式枳分，要设法在。与t中消去一个变量，才能积分，注意到(4).dS I ds t .dt =d(pV Vd(j)ds dtp表示曲线在该点的曲率半径q,根据(2)式,运用积分法求解链条的速度及其时间TV2mg sin a c os。= m (5)P由式(
3、3) (4) (5),可得到dv刀=(好-sec 0)(0枳分，得到hi = - hi cos 8 - lii(sec S + 象。)=-111(1 + siii (p),1 + sin。一条匀质的金属链条，质量为111,挂在一个光滑的钉子 上，一边长度为右，另一边长度为L,而且0心孔，如 图一。试求：链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。III解：设金属链条的线密度为人=一.当一边长度为L + L.Ll+x，另一边长度为如X时受力如图二所示，则根据牛 顿运动定律，得出运动方程(L + x)Ag 一 T = (L + x)Aci,图二T -(L2- x)Ag = J - x)Aa.(/
4、)+ 2x则一幻右+上IilM dV dV dx VdV因为a =所以dt dx dt dxVdV (L.-Lj + 2xj = 一厂二7g，ax L + L、A_CvdV=()+ 2事J。 J。 L+L A4 肮令xa ，可以求得链条滑离钉子时的速度大小v= 2山也+上dx再由=与,得到dtdt V L + L、J。/L-L.) x + x2 J。也 +积分，得到1ii2x4-(L1-L2) + 2jOA)x + 2 | ； = I 2：v l+=h 2x + (L L2) + 2 J(L - )x + I 2g 1=也+L：令x=q，可以求得链条滑离钉子所需的时间为t = 桐 + L、血
5、Li + L? + 2LL _ 桐 + J h VT + V 2g LL2 V 2g 后底求解棒下落过程中的最大速度在密度为0的液体上方有一悬挂的长为L,密度为Qn的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若p、Pr求:棒下落过程中的最大速度。解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力G和浮力户的作用，如图一所示。根据牛顿运动定律，有r dV,、mg - r = m.(1)at随着棒往卜沉，浮力逐渐增大。当直棒所受合力为零，即F = mg时，棒的加速度为零，速度最大。设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为Z，设棒的截面积为S,则有PSLg = p：SLg,解得，
6、L,=L.(2)Pi取x坐标如图所示，则(1)式可以写为dVP：SLg p、Sxg = p2SL-.atdV dV dxdV做变量代换，令：=半岑=1/=-，代入上式,dtdx dtdx得到(-)gdx=VdV-L p2两边积分，得到-Tdx=vdv得到，叫-$(*)=!咋将(2)式代入(3)式，得棒的最大速度为* =运用微分法求解阻尼平抛质量为m的物体，以初速为V。，方向与地面成角抛出。如果空气的阻力不能忽略,并设阻力与速度成正比，即f = -kV, k为大于零的常数。求：物体的运动轨道。解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程mg + f = ma其分量式，fx = kVx = max,（
7、1）7g -kVv = mav（2）dv将4=一产代入式（1），得dtdvkr* dvxr k改与成一=-dt. = 一一dt,VvmJ0 VvJ。m两边枳分，得到Vx = VQxe m = VQ cos。 e .可见由于空气阻力的存在，X方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。由于V =牙，再积分，并以t=0时x=0,代入得到(3)Vo in , i. Vo cos -勺、x=-(l e ) = (l-e m ).kkdVy同理，由于=一，式（2）转化为dt积分,并以t=0时，*=*.=* sin %代入，得到K=(5迅+等)才一咎.KK可见，y方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分
8、，并以t=0时y=0代入， 得到)，=*谿如。+ 学)(1 -普.(4)KKK由(3) (4)两式消去t,得到有阻力时的轨道方程八 坦 、 nfg，八 knfg,八 ky = Qgo + -)x+hi(l)x + hi(lx).kVQcosOQ k- mVQ cosOQ k- mVQ cos0显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨道向左下方偏离，如图一。例如：以初速620m/s,仰角45发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而 实际射程只有4km.求解飞机的滑行距离飞机以V。的水平速 度触地滑行着陆。滑行期 间受到空气的阻力为 C v2,升力为G
9、VJ其 中V是飞机的滑行速度。 设飞机与跑道间的摩擦系 数为，试求：飞机从触地到停止所 滑行的距离。解：取飞机触地点为图坐标原点，取飞机滑行方向为X轴。飞机在水平方向上受力为：摩擦力f =空气阻力 为广= CV在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力F = CyV如图一所示，应用 牛顿第二定律，得到-/W-CV2 =/ dtN + CV2-mg = O.由上两式消去N,得到7% = 一呻g - (Cv - pCy)V2.riII1 JV dv dx 1Z JV利用=V,dt dx dt dxdv得到 7V=一伽7g - (Cv - /Cv)V2. ax分离变量，积分, mvav _ r7mVdV
10、得到x =1ii/W(CaJ.2(G -)呻& + (G -、)*在飞机触地的瞬间，V = vo,支持力N=0,由运动方程，得到T H GVj “Gvj + c c,.）尸 于是=：iii ；：.2g（C,.*C,）CvV0-这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。C社V=90km/hT = 5 （升阻比）， =0.10。代入数值计算后，得到ax=221m.求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题两小球的质量均为m,小球1从离地面高度为h处由静止下落，小球2在小球1的正 下方地面上以初速V。同时竖直上抛。殳空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k（常 量）。试求：两小球相遇的时间、地点以及相遇
11、时两小球的速度。解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示m=l = -kV-mg, 出-它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的, 故dV kF = _ U g，dt m分离变量dV .:=dt.k 1ZV gm对于小球1，初始条件为/ = 0时，Ro=O,）o=/7,故rvi dV ./=力,o kJov_gm图一对于小球2,初始条件是t=0时，V20 = Vo，）、o = ，故得到K=（V+竿）卢-牛 （2）-KK由（1）式，得到dyY =_ 竺& （1 e m，）dt k枳分，得到由式（2）得到也=y，如=睥。+等盘-竽0 jo Jo &k积分，得
12、到无=时）六号两小球相遇时，/ = ）%,相遇时间为广，由（3 （4）两式，得到k k ; /.7” Z1 _一，、 J . khh = -VQ（l-e ）， g - =1 - k皿in zi kh故，=-_lii（l-xk mVQ把上述结果代入（3）或者（4）,得到两小球相遇的地点=（1+警如碧血（1-丛）.V k2 mV/代入（1） （2）,得到两小球相遇时的速度咋=_竺1_（1_丛）=_丝1 k mVQ V/v； = M +碧 XI-号）-碧=（*-普）-同 k nivQ kVQ m讨论：（1）当阻力很小时，即当A0时，利用展开式上述结果简化为广=匕）,*=力_地；峪=_勉=*_职V .
13、2V2VVY 0匕00V Q这正是不考虑空气阻力时的结果。（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下kh kh,或者V。 一，in两小球才有可能相遇在非惯性系中求解球环系统的运动情况一轻绳的两端分别连接小球A和小环B,球与环的质量相等，小环B可在拉紧的钢幺幺 上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平而内摆动。求：小球摆离铅垂线的最大角度。时小环和小球的加速度。解：当小球摆动时，小环沿钢幺幺做加速运动。以小环B为参考系，则小球受重力和绳 子拉力外，还受惯性力F惯=maB的作用，如图二。其加速度心沿圆弧的切线方向。在最大摆角为3时的运动方程 为T + F愦 sui 0 -
14、mg cosQ = 0mg sin 6 + % cos0 = inafA图一小环B在水平方向的运动方程为Tsm0 = maH.解方程，得到g sin 20, 2g sin Q小球A相对地的加速度石八=石；+反8,取如图二所示的坐标系，则有, q 2sin3=山 sin9= _ g.(1 + sin- 0)图二2(l + sm2 , + 尸。=0 = + r = 0 = 一 = -dO = In r = 。+ c dtatr=矿涉 2,初始值 x/2 =e-r-e, c = V2e =姐仁、（9- i）其轨迹如下图所示事实上我们必须注意到，在厂# 的情形下会有尸=J为专一0的推论， 我们不妨用积
15、分式算出婀刻走了多少路：,4 W + （稔）祐。=l t （等式 右边是速度乘上时间尸愕2弟-伽=* 2 - 2击项=匕在f = 2的 时候，r = 0, ”。= DO所以其实苍蝇A的轨迹应为。8-3T-40，(捉0? 2) ,(i = 2)上述讨论要表达的是说，加上（，） =（0,8）这一点是需要的，并且加上那一点后，轨迹还是连续的(可以想一下如何定义在端点的连续性)(4 )：由(3 )。.仔产+ (粉0 =谆2药次必=2(次)管=2(5 )：由(3 )得知在f到2的时候，0 = 8,换言之，在之前己转了无限多圈, 于是苍蝇会“头昏”。雪球融化假设雪球融化的速率与表面积成正比，若有一个半径为
16、10公分的雪球，在 气温气压皆固定的情况之下，在5分钟后融化为一个半径5公分的雪球，请问雪 球完全融化需要多少时间？解答：假设此雪球在时间t分钟时的半径为,(*)公分，由题意可知厂(0) = 10,厂(5) = 5, 乂雪球融化的速率与表面积成正比，雪球融化的速率即雪球体积的 变化率，雪球的体积为升*(),表面积为折W),所以有(?rr3 (t)J =村7r2g)k为一比例常数，由于体积随时间经过而减少，可知k 47rr2(t) k() = k 4冗, r)今 /( r(t) = fc f + cc为常数,由厂(0) = 10,厂(5) = 5,可解出W) =T + 10,由此可看出雪球的半径
17、随时间经过等速率减少，雪球完全融化时厂(*)=0, t= 10所以雪球在10分钟后完全融化。雨中行车若你驾驶一辆风玻璃与地面垂直的吉普车欲从甲地到乙地，此时天正下着 雨，假设所有雨滴皆以速度U垂直落下，且均匀的分布在空气中，请问你是该 开的快一点或是慢一点，才能使落在挡风玻璃的雨水总量最少？解答：图一假设每立方公尺中有。克的雨水，若车子以速度V前进，以车子为标准坐 标来看，则雨水以水平速度V,垂直速度u朝车子而来,假设速度与水平夹角0, 则对单位面积的挡风玻璃来说，在而到命+力间，落在其上的雨水正好是为 时，单位面积上高为vAt,倾斜角度e的圆柱内的水（如图二）总共有1?; 克，所以单位时间内
18、单位面积所接收的雨水为而矮，若甲到乙地距离I,挡风玻璃总面积饵，则从甲以等速V开车 到乙挡风玻璃所接收的雨水共有vex.，1，一 = &.AIv为一常数，与。无关。若并非以等速行车，结果乂会是如何呢？假设V为t的函数，写成机）, 单位时间内单位面积接收的雨水为 叩）。，假设在命时间后从甲到达乙，则 常弥）血。则从甲到乙所接收的总雨量为=aA v（i）di = 然是一个常数，与v无关，也就是说不管怎么开， 落在挡风玻璃上总雨量都是固定的。工人拉船码头上，有一个圆筒状铁柱，从船上抛出一根绳子，一端固定在船尾，另一 端绕铁柱三圈后由一工人拉着，假设工人施力10公斤，绳子与铁柱的磨擦系数 是1/3,请
19、问船尾受力多大？解答：在绳子与铁柱有e的接触时，拉力F会提供FM（接近Fsin（曲）的 正压力给铁柱，所以有dF = 积分得F =秘同,其中凡就是w 公斤，件=,而S = 6vr,所以F = 10烫。录音带如果你曾注意过收音机带动录音带的情形，相信你会发现在收听（或者快 转）的时候，在左方的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而原本在右方的磁带地 方就会被一直带动，最后会绕到左方的轮子上。现在我们考虑二个问题：两个轮子磁带半径的变化率之比为多少？如果我 知道录音带从一开始（左方的轮子没有磁带，所有磁带都在右方的轮子上）转到 一半（左方的磁带量=右方的磁带量）时，需要一分钟，并且轮1的转速始终 保持一
20、定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟呢？如果你曾注意过收音机带动录音带的情形时，就会发现到，在收听（或者快 转）的时候，在1处的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而磁带原本在2的地 方就会被一直带动，最后会绕到轮子1上。现在我们想要考虑两个问题：1. 记厂）为1号轮子在 时刻所绕出的磁带的半径，山H）为2号轮子在t时刻磁带形成圆形的半径，它们会随而变化，那么两半径的变化率之比dri（即碧）为何？2, 如果我知道录音带从一开始（轮1没有磁带，所有磁带都在轮2上）转 到一半（轮1的磁带量=轮2的磁带量）时，需要一分钟，并且轮1的 转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要儿分钟？第一个问题其
21、实并不难，如果注意到磁带的总量始终保持一定，另一个角度 想就是两磁带所绕出的两个圆形面积总和是固定的，于是会有 祈+和如）=常数，对t微分后得到2m罕+ 2对阳）譬=0今矗=-三第二个问题我们可以试着用积分的方法解决，首先注意到由于转速是一定 （记为CD）,所以半径匚是和t成正比，于是不妨令 =E比方说轮子每 秒转10圈，那么一秒后半径就多了 10个磁带的厚度，两秒后半径就多了 20个 磁带的厚度）另外，我们同样是以圆面积代表磁带量，所以 2行厂1（力）/w* = mthwdt = （一分钟时转了总长的一半，方是一比 例常数）欲解# 2河1（圳妫=2顽城出=1时的a值。2冗灿3昇2珞=7T初3
22、 = |2冗旅九s 扩借=打2 = 1=/ = 2= = /2所以带子全部转完需要璀分钟。撞球问题你知道撞球的时候球杆应该打在哪里最好吗?解答:观察1:如果球杆打在撞球的中央（如图A处）则球有速度，但是无旋转的角速度, 如此一来球和布会有摩擦，。布会坏掉，可见这不是最佳的点。球杆应打在让球产生全滚动而不滑动，这是最佳的点。观察2：若球一开始有滑动，不久球会开始滚动，滚速会增加，移动速度会减少，而 质心速度会增加，到最后会有Vcm = aRf即滚动而不滑动，而摩擦力会消失。一些记号：Icm：球的质心速度CO：球转动的角速度R：球的半径Lm：球的转动惯量M:球的质量由物理学的角度来看，一刚性物体的
23、角动量变化率等于力矩之和，写成数学 式即为器=丁，另外，角动量等于物体的转动惯量乘上角速度，也就是说 L =如,于是，用到撞球的例子上即为：L = Icm 3 = = h I= hM注:1. 因为撞球的滚动是以贯穿球心的轴而转动，所以其转动惯量为如次质心）2. 力矩矽=* / ,其中 矽是转动轴到施力点的方向向量，如果只关心力矩的大小,3. 要达到全滚动而不滑动，则f 了哉,动量的变化率最后必须全部转变为瞬间达成。所以1河 3 = MVem = hMwR今h =短最后，计算出Lm的值：1.先计算空心球壳的转动惯量：r = RsinB（球壳上的点到轴的距离）dm _ 就 A行-击积（均匀球壳，质
24、量与面积成正比）dA = 2mR，dO,dm = 2舞M前。.1 =耕db = sin3 ffdff=一 Jc)1 坪V】cos2 9)dcos0 = =y-(cos |cos3 |q =/?22.计算实心球壳的转动惯量：哥=1 =.伴部=| .常喋 修S =孙M2所以补充：为何滚动而不滑动的时候会有Km = 3R?.滚动而不滑动,1/_ dS _ Rdt9 _ Er.质心的位移等于弧长 今S = RQ,。四一诙一节一俭牛吃草问题有一头牛，被栓在一个半径为的木桩上（如下图所示）绳子的一端被固定在 A点，而牛能够走到木桩的对面B。木桩的外部都是草地，请问牛有办法吃到多 少草呢？解答：图一经由观察
25、我们发现牛能吃到草的范围如右图的斜线部份（见图二）。由题意知绳长为花尸，而在见点左边的区域会是一个半圆。至于剩下的区域怎 么求得呢？当绳子被木桩”拌住”的时候（见图三）。牛所达到的最远处为。，其中弧长打加直线长CDjTrr （绳子的长度）, 而曲线即所有这种点所形成的轨迹。我们可以利用解析凡何将轨迹描述出来：取木桩的中心为原点0,令旋与旋的夹角为。(如图四)，于是。点坐标为(ros0,rsin 而切？一、是圆在。点上的切线段，所以sin仇一cos。)，人待定，而面长度要等于弧长BC,于是=,解得k =冲,所以。点坐标即确定：(r cos 8、r sin 0) + rO(sin 0, - cos
26、。) = (r(cos 0 + 0sin 0), r(sin0 cos)我们可先计算图五的斜线面积，它会是以下所表示的积分值：Area = f y(O)dx(&) = f ydO= - g r(sin J A cos 6)-厢cos OdO=一2 /if(”)(sin 们 cosO)d0 常 cos2 9dd=(1) + (2)(1) = |(20) (sin 20)4(2。)= | 广 x - sin xdx = xd(cos rr)=| rr . cos弗成cos xdx = |(2tt) = |(其中cosz为周期函数,广2网 故Jocos x(kr 0)(2)=仁俨(1罕兰)曲=-C *哓船-2cos 2仇脂=-伽亦吴矗1(20)=_救3 志 % 笊；r2 coxdx= */ 志a;2sinz|萨一f： sin x 2xdx= |jr cos园祀 fQ 1 cosxdx = |tt3 夺/. Aiea=|7T3r2 + 打2 至此可得吃草的范围=上下两块Aiea加上左半圆扣掉木桩面积2r37l1-6 z/l2r7r1-2IT 2Tr7rr2（平方单位）补充：图五中弧3E称为圆的渐伸线（involutes
