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1、第三章 流体运动的基本概念和基本方程,3.1 研究流体流动的方法,3.2流动的分类,3.3 流管 流束 流量,3.4 连续方程,3.5动量方程,3.6能量方程,3.7 伯努利方程及其应用,3.1 描述流体流动的方法,1.方法概要,一、欧拉描述(欧拉的眼睛),着眼于流场中各空间点，通过了解流场中所有空间点物理量(流速、温度、密度等)的变化规律，来获得整个流场的信息。,2.研究对象:,某一时刻空间各点的流速分布,流场：充满运动流体的空间,流场：,二维速度剖面(也属于流场速度分布):u u(x,y),3.描述流体速度空间分布的不同方式,与时间无关的流场,与时间有关的流场,1.方法概要,二、拉格朗日描
2、述(拉格朗日的眼睛),2.研究对象,流体质点在不同时刻的位置或速度分布,它着眼于流体质点的实际运动轨迹，研究各质点的运动历程,y,x,r(t),（t为自变量，a,b,c 为流 体质点的初始坐标）,流体质点速度：,流体质点加速度：,应用迹线描述流体质点的运动,迹线方程:,x,y,三.迹线与流线,1、迹线,流体质点的运动轨迹。,（t为自变量，x,y,z 为t 的函数）,应用迹线描述流体质点的运动,2.流线,流线是表示流体流动趋势的一条曲线.在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于欧拉方法,(t0 为参数）,流线的性质,（1）流线彼此不能相交(
3、除了源和汇),（2）流线是一条光滑的曲线，不可能出现折点(除了激波问题),（3）定常流动时流线形状不变，非定常流动时流线形状发生变化,v1,v2,s1,s2,交点,v1,v2,折点,s,例1 由速度分布求质点轨迹,求：初始(t=0)位置是（a,b）的流体质点的运动轨迹,求解一阶常微分方程（a）可得,已知:已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为,讨论：,本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速度分量变化规律，仍然可由此求出一指定流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。,上式中c1，c2 为积分常数，由 t=0 时刻流体质点位于 可确定，代入(b)式，可得参数形式
4、的流体质点轨迹方程为:,例2:如果已知用拉格朗日法表示的流体质点运动为:,解:由速度表达式:,(1),(2),试求该流动的欧拉描述与流线方程?,讨论：,本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各空间点上速度分量随时间的变化规律。此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.,由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:,相应的流线方程是:,作业3:已知流速场为:,试求:(1)流线方程,并绘出流场示意图;(2)t=0时通过(1,1,0)点的迹线方程,作业2:已知流速场为:,试求:
5、t=0时通过(1,1,0)点的迹线方程,习题1:已知空间流场的速度分布(欧拉法),如果已知流体质点在t=0 时,初始位置是(1,0,0),试求(1)该流体质点的迹线方程;(2)流线方程.,3.2 流体的加速度,一.流体的加速度,加速度是流体质点运动的速度变化(拉格朗日意义上).,流体质点加速度：,流体质点速度：,如果给定欧拉描述,如何去求各空间位置流体质点的加速度?,方法I:(1)先通过欧拉描述求出迹线的参数方程;(2)由迹线的参数方程对时间求二阶微分;(3)再把加速度表达式还原为x,y,z,t的欧 拉描述。,方法II:,例3 由速度分布求加速度,求各空间位置上流体质点的加速度,求解一阶常微分
6、方程（a）可得,已知:已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为,非均匀变化率:在同一瞬时,由于空间位置变化而引起的速度变化率.为不同位置上的速度差异引起的变化率（迁移），反映各空间位置的速度分布不均匀性之影响,例3 由速度分布求加速度,求各空间位置上流体质点的加速度,求解一阶常微分方程（a）可得,已知:已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为,非定常变化率:各空间位置点速度随时间变化而引起的质点速度的变化；反映随时间变化的速度分布之影响,例3 由速度分布求加速度,求各空间位置上流体质点的加速度,求解一阶常微分方程（a）可得,已知:已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为,假设 z=f(t,x,y)是一个关
7、于 x 和 y 的可微函数,而 x=g(t)和 y=h(t)均为 t 的可微函数,就有:,引子:多元函数的链式法则,假设 z=f(x,y)是一个关于 x 和 y 的可微函数,而 x=g(t)和 y=h(t)均为 t 的可微函数,就有:,两种方法求得的加速度等价,t,t+t,(x,y,z),(x+x,y+y,z+z),x,y,z,每一空间点上的流体质点都可视为迹线上的一点.那么欧拉法中的空间位置坐标(x,y,z)转换为流体质点在t 时刻所在的坐标:(x,y,z)(x(t),y(t),z(t),引入梯度算子:,非定常变化率。各空间位置点速度随时间变化而引起的质点速度的变化；反映随时间变化的速度分布
8、之影响,非均匀变化率。在同一瞬时,由于空间位置变化而引起的速度变化率.为不同位置上的速度差异引起的变化率（迁移），反映各空间位置的速度分布不均匀性之影响,总加速度（随体加速度）。表示流体质点的速度随时间的变化率,二.其他物理量的时间变化率,通常,物理量其变化率为:,为各位置的物理量B随时间的变化率，反映流场的不定常性之影响,为不同位置（迁移）上物理量的差异引起的变化率，反映流场的不均匀性之影响,在一固定空间点,由于时间变化而引起的流体粒子温度变化；反映温度场的非定常性之影响,不同位置上的温度分布不均匀引起的流体粒子温度变化,流体粒子运动时温度的变化率；,温度：,流体速度场和温度场的联立描述,1
9、.非定常的均匀流场,各物理量不随空间变化,仅随时间变化:,非定常的均匀场加速度为:,加速度即为当地变化率,几种特殊流场加速度简化表达式,2.定常流动:,定常流动的加速度为:,即为迁移加速度,3.一维流动,作业1:已知流速场为:,求流体质点的加速度表达式,并予以说明流场的特点(是定常流动吗?及加速度的含义?),求流体质点的加速度表达式,并予以说明流场的特点(是定常流动吗?及加速度的含义?),作业2:已知流速场为:,四、两种方法的比较,拉格朗日法 欧拉法,分别描述有限质点的轨迹,表达式复杂,不能直接反映参数的空间分布,不适合描述流体微元的运动变形特性,拉格朗日观点是非常重要的,同时描述所有质点的瞬
10、时参数,表达式简单,直接反映参数的空间分布,适合描述流体微元的运动变形特性,流体力学最常用的分析方法,描述方法,随体法,全局法,拉格朗日法,欧拉法,质点轨迹：,物理量分布:B=B（x,y,z,t）,3.3 流动的分类,A.定常流动和非定常流动B.急变流和缓变流C.层流与湍流D.一维流动,二维流动和三维流动,一.定常流动和非定常流动,1.定常流动,流动参量不随时间变化的流动。,特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关。,即：,2.非定常流动,流动参量随时间变化的流动。,特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函 数，而且与时间有关。,即：,a 定常流动,b 准定常
11、流动,c 周期性谐波脉动流,d 周期性非谐波脉动流（体内流）,e 非周期性脉动流(衰减流）,f 随机流动（湍流）,观测任一小区域的流速变化,二、一维流动、二维流动和三维流动,1.流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。,一维流动,二维流动,2.实际流体力学问题均为三元流动工程中一般根据具体情况加以简化,三、缓变流 急变流,缓变流：,急变流：,3.4 流管 流束 流量,1、流管 流束,流管：在流场内任意作一封闭曲线（不是流线），通过封闭曲线 上所有各点作流线，所形成的一个封闭的管状曲面称为流管。,流束：流管内部的流体称为流束。封闭曲线无限小时所形成的流管,微元流管：封闭曲线无限小时所形成的流
12、管,其极限为流线,质量流量:,如果考虑流速分布:,体积流量:,2、有效截面 流量 平均流速,3、湿周 水力半径,1.湿周,在有效截面上，流体同固体边界接触部分的周长,2.水力半径,有效截面积与湿周之比称为水力半径,3.5 系统与控制体,一、流体力学中的系统与控制体概念,1.系统(system)、控制质量(control mass),一团流体质点的集合，拉格朗日法研究流体运动的研究对象,2.控制体、控制体积(control volume),流场中某一确定的空间区域，欧拉法研究流体运动的研究对象,始终包含确定的流体质点 有确定的质量 系统的表面常常是不断变形,控制体的周界称为控制面 一旦选定后，其
13、形状和位置就固定不变,控制体积(control volume)方法的特点:(1)形状和体积不变;(2)可通过控制面和外界有质量和能量交换,也有力的相互作用;(3)控制体保持固定不动或匀速运动,流动功(也称推挤功):,P1,A1,x,当物质移入具有一定压强的体系时需要做功,P,而且是外界对体系做功,飞机喷管的地面风洞实验台,喷管,需要解决的问题是:运动的流体对固壁的作用力,定常流动,t 时刻,t+t 时刻,问题1:控制体内的物理量变化和流体粒子集合(系统)物理量变化并不总是等同,控制体,系统,I,II,III,控制体,系统,M,M,MII+MIII,MI+MII=MI+M MIII,下面需要澄清
14、三个问题:,问题2:我们的目标是什么?如果给定的是流场或温度场(即物理量的分布),即可知控制体中物理量的变化率,那么如何推得流体粒子集合物理量的变化率?需在这两者之间架设桥梁!,流体粒子系统物理量的变化率,质量守恒,动量方程,能量方程,动量变化率等于流体粒子系统所受的外力,能量变化率等于流体粒子系统外力所做的功率,控制体中的流体物理量的变化率,质量守恒,动量方程,能量方程,动量方程,单个质点,质点群,(拉格朗日的眼睛),定常流动,某一时刻流场,其物理量分布函数为f(r,t),则t时刻流体在空间V上总物理量是:,(1).密度分布函数(r,t)在空间区域V上的总流体质量是:,(2).在空间V上的总
15、流体动量是:,(3).在空间V上的总流体动能是:,t时刻,t+t时刻,系统,控制体,x,y,z,o,V,z,x,y,n,v2,n,v1,a,o,V3,V2,V1,二、流体系统(大量粒子的集合)输运方程(transport equation),N:t 时刻流体系统的某种物理量（如质量、动量、能量等）f(r,t):单位质量流体所具有的物理量(f(r,t)是 属于欧拉描述),于是流体系统物理量的积分相应为:,推导过程：,现分别计算右端三个极限:,1.,t 时间内控制体内物理量的变化,2.,此式实际上是叙述在t 时间内流出控制体的物理量,与物理量的移出的速率有关,请看下式:,3.,同理可得:,此式叙述
16、的是在t 时间内流入控制体的物理量,与物理量的移出的速率有关,某一时刻流场,其物理量分布函数为f(r,t),则t时刻流体在空间V上总物理量是:,(1).密度分布函数(r,t)在空间区域V上的总流体质量是:,(2).在空间V上的总流体动量是:,(3).在空间V上的总流体动能是:,dA,n,v,v,n,dA,进口截面,出口截面,即书上的公式:,因此:,上述方程传达了这样的观念：,流体系统(大量粒子的集合)某一物理量的时间全变化率是由两部分组成:(1)控制体内该物理量的时间变化率;(2)单位时间内通过控制面的该物理量的流量。,如果是流动是定常流动：,在定常流动条件下，整个系统内部的流体所具有的物理量
17、的变化率只与通过控制面的流动有关，而不必知道系统内部流动的详细情况。,3.6 质量守恒方程(连续方程),单位质量:,系统的质量:,控制质量方法,控制体积方法,欧拉描述,拉格朗日描述,一旦给出空间速度分布,即可求得上述质量平衡关系式,相互转译,二、连续方程的其它形式,定常流动：,定常流动条件下，通过控制面的流体质量等于零,一维定常流：,不可压缩一维定常流：,在定常流动条件下，通过流管的任意有效截面的质量流量是常量。,在定常流动条件下，通过流管的任意有效截面的体积流量是常量。,一、动量方程,本质：动量定理,3.7 动量方程,1.单位质量流 体的动量,2.流体系统 的动量,3.系统上外力的矢量和,动
18、量流量的变化率等于外力的矢量和,4.控制体内和界面上的动量流量变化:,由动量定理可得:,定常流动的动量方程,如果进出口截面的平均流速为，,如果速度均匀：,动量修正系数,因为：,可得：,控制质量方法,控制体积方法,欧拉描述,拉格朗日描述,一旦给出空间速度分布,即可求得上述质量平衡关系式,相互转译,例4固定喷管的受力问题,解：取图中虚线所示控制体，有两个出入口,且为定常流动。,可得,设一固定喷管,恒定流量是0.02 m3,入口直径为9 cm,入口压强为5 atm,出口直径为3 cm,出口压强为1 atm,并假设流体在截面上速度分布均匀,=103 kg/m3,试求固定喷管所受的力.,控制体出口截面动
19、量流量:,控制体进口截面动量流量:,由于是定常流动,控制体内动量变化为0:,由动量定理可得,只需列出x方向的动量方程:,所以,喷管给流体施加的力是:,流体给喷管施加的力与上式大小相等,方向相反,例5弯管的流动受力问题,已知:设水流流过一圆形弯曲管道,流动为定常流动，弯管的偏转角为,进出口面积 A 相同，进出口两端的表压分别为p1,p2，流速为V，忽略重力和粘性作用，并假设进出口截面速度分布和压力分布均匀。,求：水流对弯管水平方向和垂直方向的作用力F 的表达式,x,y,解：首先选定图中虚线所示的控制体 定常流动量方程为：,则流体在X方向和Y方向所受的总力为：,Fx,Fy是管壁作用在流体上未知力。
20、,于是：,流体作用在圆管上的力（Rx,Ry)与（Fsx,Fsy)是一对作用力与反作用力,例6,设一喷气飞机以800km/h的速度在8000米的高空飞行,空气密度是0.526kg/m3,进气速度是800km/h,如图所示,发动机入口截面的直径为0.86m,排出气体相对于飞机的出口速度为650m/s,按不可压缩流体处理,试求发动机的推力.,喷气式飞机示意图,所选取的控制体,解：取图中虚线所示控制体，有两个出入口注意控制体以匀速运动行进,V1,V2,y,x,如果是匀速运动的控制体,绝对速度,相对速度,(取飞机为坐标系),(取地面为坐标系),按进口尺寸及飞行速度和飞行高度,很容易把质量流量推算出来:,
21、于是推力:,控制体如果是运动的,需按相对速度计算流量和动量的变化。实际计算中要考虑可压缩效应对气体密度的影响,流量系数,粘性阻力以及前后端的压差等因素的影响。,3、动量矩方程,左边等于作用在系统上的外力矩之和,定常流动，控制体内流体的动量矩随时间不变,力矩,动量定理：,动量矩定理：,牵连速度：,绝对速度：,相对速度：,泵出口处的流量：,泵出口处的流体动量矩：,即有：,该力矩传给流体的轴功率为：,本质：能量守恒定理,3.8 管流能量方程,控制体进口的能量,单位时间外力对系统所做的功,机械能：高品位,动能：,位置势能：,内能：,流动功：,低品位,控制体出口的能量,机械能：高品位,单位时间外力对系统
22、所做的功,如果是定常流动，控制体内部储存能量变化为0,定常流动（开口系统稳定流动）能量守恒方程可写为：,假定控制体绝热，这样好讨论,整理可得：,轴功率Ws一般是由风扇、水泵、压气机、涡轮等流体装置来进行,如果进出口速度不均匀：,常见的情况：一维流动管路,.如果假定管路进出口流速是均匀的,由于,所以定常流动的能量输运方程可化简为：,2.如果给定管路进出口的流速分布,这里把流体由于粘性而损失的能量都集中于 Wv 项中,转化为内能,动能修正系数：,规定：,流体对外做功,外界对流体做功,比较:A.工程热力学中稳定流动方程,B.流体力学,工程热力学：,通过气体热力状态的变化对外做功,研究对象：气体,目的
23、：,工程流体力学：,研究对象：流体,闭口系统：,开口系统：,如果是液体，无密度的改变，只有压强的变化,一维均匀流动管路,如果无轴功和热量输入和输出,那么,由于流动管路均匀,v2=v1,z2=z1,那么,hL称为流动管路单位质量流量的水头损失,有用能、机械能,高品位能量,热能,低品位能量,漩涡、摩擦,例8自来水厂中水泵加压问题,自来水以0.3m3/s的流量流过水泵,水泵入口处面积为0.5 m2,出口处的面积为0.5 m2,进口处的压强是2105 pa,进出口高度相同,水泵加给水的功率为1000W,整个管路的功率损失是100W,不考虑向外散失的热量,求出口压强?(=1000 kg/m3),解：取控
24、制体,列定常流动能量方程,由于z1=z2,q=0,1=2=1.0,进口速度是:,出口速度是:,水泵加给水的功率是:,整个装置的功率损失是:,代入能量方程可得:,即可求得 p2,求：(1)有用功的增量w,解：取控制体,列定常流动能量方程,例8 轴流式风扇的效率问题,(2)能量损失,已知:图为一轴流式风扇,V1=0,d2=1m,V2=10m/s；进出口截面均为大气压强，风扇功率为0.65 kw，空气密度=1.23 kg/m3,(3)风扇效率,由于z1=z2,p1=p2=pa,V1=0,有用功,轴功,能量损失,质量流量,能量损失为:,风扇效率为:,风扇分配到单位质量流量上的功率:,2,1,3.9 伯
25、努利方程及其应用,一、伯努利方程,沿流线取微流管,由于1,2可取任意点,此表达式适用于同一根流线上的任意点,由于是定常流动,机械能守恒,伯努利方程的限制条件：,(3)定常流动,(2)不可压缩流体:密度变化影响小,(1)无粘性流体:粘性力大小可忽略,(4)沿流线成立,应用范围：,(1)不可压缩理想流体在重力场中的定常流动,边界层 外流动满足这一条件；,(2)同一条流线上的不同的点,常数值相同；(3)沿不同的流线时，常数值一般不相同。,速度水头,位置水头,压强水头,总水头,沿流线的总水头线为一平行于基准线的水平线。,沿流线单位重量流体的动能、位势能和压强势能之和是常数。,注意:单位重量流体,物理意
26、义：,单位重量流体,单位质量流体,单位体积流体,将各项水头沿程变化的情况几何表示出水头线来。测压管水头线总水头线位置水头线zpgu22oo水平基准线H理想流体恒定元流的总水头线是水平的。,二、总流的伯努利方程,三、伯努利方程的应用,原理：弯成直角的玻璃管两端开口，一端的开口面向来流，另一端的开口向上，管内液面高出水面h，水中的A端距离水面H0。,1.皮托管,由B至A建立伯努利方程,动压管：,静压管与皮托管组合成一体，由差压计给出总压和静压的差值，从而测出测点的流速。,2.文丘里管,原理：文丘里管由收缩段和扩张段组成，在入口前直管段上的截面1和喉部截面2两处测量静压差，根据此静压差和两截面的截面积可计算管道流量。,由1至2建立伯努利方程,流速：,体积流量：,
