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1、动 力 学,西北工业大学支希哲 朱西平 侯美丽,拉格朗日方程,73 拉格郎日方程的第一积分,7 1 动力学普遍方程,动 力 学,第七章拉格郎日方程,72 拉格郎日方程,目录,7-1 动力学普遍方程,对于这些函数进行一定的运算，就可了解系统的运动特性和获得系统的运动方程，所以动力学普遍方程和拉格朗日方程式求解质点系复杂动力学问题的普遍而有效的方法。,7-1 动力学普遍方程,动力学普遍方程和拉格朗日方程是分析动力学的内容。分析动力学是把系统作为一个整体来考察，并利用动能、势能这类标量函数来描述这个系统。,一、概述,动力学普遍方程是将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合而得到的，可以看成是达朗贝尔原理的解
2、析表达形式。,二、动力学普遍方程的推导,设一质点系由 n 个质点组成，作用在第 i 个质点上的主动力为 Fi，约束力为 FNi，则根据牛顿第二定理 F=ma 有,令,称为惯性力，则有,上面式子表示一组平衡关系，即在每一瞬时，作用在质点系内每一质点上的主动力 Fi，约束力为 FNi，以及假想的惯性力 F*i 在形式上构成平衡力系。,7-1 动力学普遍方程,7-1 动力学普遍方程,将虚位移原理应用于这组平衡力系，为此，取质点系的任一组虚位移 ri（i=1，2,n），则有,对质点系全部质点的上述表达式求和，得,设该质点系所受的约束为理想约束，则,代入上式可得,式 称为惯性力。,上式表明：在理想约束下
3、，质点系在任一瞬时，作用的主动力和假想的惯性力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。,取固定直角坐标系，将上式投影得：,以上二式称为动力学普遍方程 或 达朗伯拉格朗日方程。,7-1 动力学普遍方程,动力学普遍方程消去了所有理想约束的约束反力，因而特别适合于求解非自由质点系的动力学问题。,应用动力学普遍方程求解动力学问题与用虚位移原理求解静力学问题的方法基本相同，只要在系统上虚加惯性力，并将惯性力视为主动力即可。,由动力学普遍方程可得到若干个独立的二阶微分方程，方程的个数等于质点系的自由个数。,因此，动力学普遍方程给出了任意多个自由度系统的全部运动微分方程，任何其它动力学方程都可作为它的特殊情况推
4、导出来。,7-1 动力学普遍方程,例题7-1 一瓦特调速器的结构如图所示。每一飞球质量为m1，重锤质量为m2，各铰连杆的长度为l，T形杆宽度为2d。调速器的轴以匀角速转动。求飞球张开的角度。,O,C,d,d,B,A,例题 7-1,7-1 动力学普遍方程,例题7-1,例题 7-1,7-1 动力学普遍方程,此为一个自由度质点系，选角为广义坐标。,球简化为质点，除主动力外，图上画出了飞球的惯性力F*A和F*B，两力大小相等，方向相反。,由动力学普遍方程得,(a),解：,例题 7-1,7-1 动力学普遍方程,各质点的虚位移可用广义坐标的变分 表示,O,C,y,x,d,d,rC,rA,rB,B,A,m1
5、g,m1g,m2g,F*A,F*B,例题 7-1,7-1 动力学普遍方程,此式建立了调速器相对平衡位置与转速的关系，可用来作为选择调速器参数的依据。,代入式（a）得,求得,(a),例题 7-1,7-1 动力学普遍方程,例题7-2 在图所示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为m1的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为m2的重物。设滑轮和绳子的重量以及轮轴摩擦都不计，求物体下降的加速度。,m1g,m2g,a1,a2,例题 7-2,7-1 动力学普遍方程,例题7-2,例题 7-2,7-1 动力学普遍方程,给系统以虚位移s1和s2，由动力学普遍方程，得,m1g,m2g,a1,a2,解：,取整个滑轮系统为研究
6、对象，系统具有理想约束。系统所受的主力为重力m1g和m2g，假想加入系统的惯性力，。,例题 7-2,7-1 动力学普遍方程,这是一个自由度系统，所以s1和s2中只有一个独立的。由定滑轮和动滑轮的传动关系，有,消去s2，得,代入前式，有,m1g,m2g,a1,a2,s1,s2,例题 7-2,7-1 动力学普遍方程,7-2 拉格朗日（Lagrange)方程,拉格朗日方程,保守系统的拉格朗日方程,7-2 拉格朗日方程,一、概述,应用动力学普遍方程，求解较复杂的非自由质点系的动力学问题常不很方便，这是因为由于系统存在约束，所以这种方程中各质点的虚位移可能不全是独立的，这样解题时还需寻找虚位移之间的关系
7、。,但是，如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动力学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉格朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问题常很方便。,7-2 拉格朗日方程,设由 n 个质点组成的质点系，受到 s 个理想、完整约束，因此该系统具有k=3m-s个自由度，可用 k 个广义坐标 q1,q2,qk 来确定该系统的位形。,在非定常约束下，系统中任一质点的矢径可表示成广义坐标和时间的函数，即,对上式求导，得该质点的速度,上式中的，称为广义速度。,由以上可知,仅是广义坐标和时间的函数。,二、拉格朗日方程的推导,7-2 拉格朗日方程
8、,仅是广义坐标和时间的函数，,则有拉格朗日第一变换式,（2）,与 无关。,7-2 拉格朗日方程,拉格朗日第一变换式,（2）,再对时间t求导得,式（3）右边与式（2）右边比较可得关系式,所以有拉格朗日第二变换式,对任 求偏导，,（3）,7-2 拉格朗日方程,代入动力学普遍方程,有,这样动力学普遍方程可写为,7-2 拉格朗日方程,代入上式有,广义惯性力,因为,所以,7-2 拉格朗日方程,广义惯性力,利用前面的二个拉格朗日变换式,有,7-2 拉格朗日方程,故广义惯性力的最后变形形式为,7-2 拉格朗日方程,广义惯性力的变形形式,代入前面所得动力学普遍方程的转化式,有,对于完整系统，广义虚位移qj 都
9、是独立的，并具有任意性，所以为使上式成立，则有,由此可得一般完整系统的拉格朗日方程,7-2 拉格朗日方程,一般完整系统的拉格朗日方程,由上章可知如果系统上的主动力均为有势力，即是保守系统时，广义力为,代入上式，注意到势能函数 V=V（q1，q2，qk）与广义速度 无关,则有,即,令,称为拉格朗日函数,故保守系统的拉格朗日方程为,三、保守系统的拉格朗日方程,7-2 拉格朗日方程,一般完整系统的拉格朗日方程,四、几点说明,（1）上面的拉格朗日方程确切应叫第二类拉格朗日方程，是与自由度数相同的二阶常微分方程。,（2）拉格朗日方程可用于建立系统的运动微分方程，该方法的特点是用广义坐标，并从能量的观点研
10、究系统动力学问题。,保守系统的拉格朗日方程,其中,称为拉格朗日函数。,7-3 拉格朗日方程应用举例,完整系统的拉氏方程是一组对应于广义坐标q1，q2，qk的k个独立二阶微分方程，式中消去了全部理想约束的未知约束力。,（1）选定研究对象，确定该系统的自由度数目，并恰当地选择同样数目的广义坐标。,（2）用广义坐标、广义速度和时间的函数表示出系统的动能。,应用拉格郎日方程建立系统的运动微分方程时，一般步骤如下：,7-3 拉格朗日方程应用举例,（4）将Q、T（或L）代入拉格朗日方程，得到k个独立的二阶微分方程，即系统的运动微分方程组。,（3）求广义力。比较方便而且常用的是从式,求得。,（1）选定研究对
11、象，确定该系统的自由度数目，并恰当地选择同样数目的广义坐标。,（2）用广义坐标、广义速度和时间的函数表示出系统的动能。,应用拉格郎日方程建立系统的运动微分方程时，一般步骤如下：,特别是当主动力有势时，则只须写出势能V或拉格朗日函数L=T-V，然后求偏导数。,7-3 拉格朗日方程应用举例,这个程序是非常有效而且容易掌握的。这就是拉格朗日方程的重要优点。另外，在拉格朗日方程中自动消去了理想约束的反力，且避免了加速度分析。,7-3 拉格朗日方程应用举例,例题7-3 在水平面运动的行星齿轮机构如图所示。匀质杆 OA 质量是 m1，可绕铅直轴 O 转动，杆端 A 借铰链装有一质量是 m2，半径是 r 的
12、匀质小齿轮，此小齿轮沿半径是 R 的固定大齿轮滚动。当杆 OA 上作用着转矩 MO 时，求此杆的角加速度。,例题 7-3,7-3 拉格朗日方程应用举例,例题7-3,例题 7-3,7-3 拉格朗日方程应用举例,解：,此机构只有一个自由度。取杆 OA 的转角 为广义坐标，点 A 的速度为 vA=(R+r)。小齿轮在固定的大齿轮上的啮合点 C 是其速度瞬心，故小轮的角速度,系统的动能为,例题 7-3,7-3 拉格朗日方程应用举例,广义力为,得,从而解得杆 OA 的角速度,将上两式代入拉格朗日方程,例题 7-3,7-3 拉格朗日方程应用举例,例题7-4 如图所示的椭圆摆，由滑块 A，细杆 AB 和摆锤
13、 B 构成。滑块 A具有质量 m1，可沿光滑水平面自由滑动。摆锤 B 可看成质点且具有质量 m2，由长l 的无重细杆铰接在滑快上。杆可在铅直面内绕 A轴自由转动。试写出系统的运动微分方程。,例题 7-4,7-3 拉格朗日方程应用举例,例题7-4,例题 7-4,7-3 拉格朗日方程应用举例,解：,此系统具有两个自由度，取滑块 A 的坐标 x 和杆的转角 为广义坐标。系统的动能为,例题 7-4,7-3 拉格朗日方程应用举例,求出各有关导数,例题 7-4,7-3 拉格朗日方程应用举例,求广义力。考虑到主动力只有重力，分别给出系统的虚位移 x 和，则有,将以上结果代入拉格朗日方程,例题 7-4,7-3
14、 拉格朗日方程应用举例,式(a)和(b)就是此系统的运动微分方程。,即得,例题 7-4,7-3 拉格朗日方程应用举例,例题7-5 试写出铅直平面内由弹性绳悬挂的摆锤 A 的运动微分方程。已知摆锤的质量是m，弹性绳的刚度系数是 k，且在重力作用下静止时绳长是l。假设当摆锤运动时绳子始终受力。,O,l+s,O,l=l0+0,A0,A,例题 7-5,7-3 拉格朗日方程应用举例,例题7-5,解：,弹性绳只是加力的工具，不限制摆锤的运动自由。故在铅直平面内摆锤 A 具有两个自由度。取绳对铅垂线的偏角 和绳由 l 算起的变形 s 为广义坐标。,所以摆锤的动能为,摆锤的速度 v 具有两个正交分量：横向分量
15、和径向分量，其大小分别是,O,l+s,O,l=l0+0,A0,A,例题 7-5,7-3 拉格朗日方程应用举例,系统的主动力包括重力和弹性力(把弹性绳解除后，弹性力转化为主动力)，两者都是有势力。以平衡位置作为重力势能的零势能面，则系统的势能函数可写成,式中 0 是弹性绳在平衡位置时的伸长量，且有 0=mg/k。,因此，系统的拉格朗日函数是,O,l+s,O,l=l0+0,A0,A,vs,v,例题 7-5,7-3 拉格朗日方程应用举例,求出各有关导数,O,l+s,O,l=l0+0,A0,A,vs,v,例题 7-5,7-3 拉格朗日方程应用举例,于是，拉氏方程,可写成,考虑到 k0=mg，可由上式简
16、化得到弹性绳悬挂的摆锤A 的运动微分方程,例题 7-5,7-3 拉格朗日方程应用举例,例题7-6一不可伸长的绳子跨过小滑轮 D，绳的一端系于匀质圆轮 A 的轮心 C 处，另一端绕在匀质圆柱体 B 上。轮A 重 W1，半径是 R。圆柱 B 重 W2，半径是r。轮 A 沿倾角为 的斜面作纯滚动，绳子倾斜段与斜面平行。滑轮 D 和绳子的质量不计，试求轮心 C 和圆柱 B 的中心 E 的加速度。,C,W1,W2,R,E,D,A,B,r,y,x,A,B,例题 7-6,7-3 拉格朗日方程应用举例,例题7-6,例题 7-6,7-3 拉格朗日方程应用举例,解:,系统具有两个自由度。我们选取 x1=DC 和
17、y=yE 作为系统的广义坐标。于是系统的动能为,式中 A 和 B 分别是圆轮 A 和圆柱体 B 的角速度。根据运动学关系可知,将 A 和 B 代入动能表达式，并考虑到,例题 7-6,7-3 拉格朗日方程应用举例,则有,圆轮A 作纯滚动，摩擦力不做功。系统的主动力只有重力 W1 和 W2，因此，系统的势能为,写出系统的拉格朗日函数,例题 7-6,7-3 拉格朗日方程应用举例,求解式(a)和(b)，得,即得系统的运动微分方程,它们分别是轮心 C 和圆柱 B 的中心 E 的加速度。,将 L 代入拉氏方程,例题 7-6,7-3 拉格朗日方程应用举例,例题7-7 质量为m1的三角块A在水平面上运动，质量
18、为m2的物块B在三角块斜面上运动，斜面以及水平面光滑，倾角为，弹簧刚度为k。列写系统运动微分方程并求出运动规律。,A,B,O,例题 7-7,7-3 拉格朗日方程应用举例,例题7-7,例题 7-7,7-3 拉格朗日方程应用举例,系统为完整系统，两个自由度，选x1，x2为广义坐标。其中坐标x2的原点在弹簧的静伸长处。,解：,质点系动能表达式,列写质点系势能表达式，选弹簧原长处为弹簧势能零点位置，点O为重力势能零点位置。,A,B,O,（a）,（b）,例题 7-7,7-3 拉格朗日方程应用举例,上式即为质点系的运动分方程式。,式（c）为线性微分方程，可求得解析解。消去 得,得,代入拉氏方程,（c）,例
19、题 7-7,7-3 拉格朗日方程应用举例,运动规律是：B块相对小车作简谐振动，A车沿水平面的运动为简谐振动与等速直线运动的叠加，具体的运动参数取决于运动的初始条件。,其解为,入式（c）得,或,例题 7-7,7-3 拉格朗日方程应用举例,7-3 拉格朗日方程的第一积分,能量积分,循环积分,在一般情况，用拉格朗日方程导出的系统运动是关于广义坐标的一组二阶非线性微分方程，要求它们的积分是困难的。但在某些特殊情况下，可方便地找到一个或几个第一积分。常见的第一积分有两种：能量积分和循环积分。,当应用拉格朗日方程解题时，每次都要写出广义坐标形式的动能，而这些动能表达式间具有类似的结构。,由关系式,代入质点
20、系的动能表达式，得,7-3 拉格郎日方程的第一积分,记,它们都只是广义坐标和时间的函数，不显含广义速度。于是动能表达式可简写成,式中,7-3 拉格郎日方程的第一积分,（1）,这样，T2、T1、T0分别是广义速度的齐二次式、齐一次式和零次式。根据齐次函数的欧拉定理，可得,于是,7-3 拉格郎日方程的第一积分,因为势能函数V与 无关，；所以上式写成,即,7-3 拉格郎日方程的第一积分,当约束是定常的而且主动力都是有势时，拉格朗日函数中不显含时间t，即有,于是,L对时间的全导数,7-3 拉格郎日方程的第一积分,一、能量积分,现在以 分别乘以拉格朗日方程 中的每一式，然后把k个方程相加，得,但第一个和
21、式中的各项可以改写成,7-3 拉格郎日方程的第一积分,于是上式可写成,（2）,现在由式 知，上式左端的第二项就是L对时间t的全导数，所以上式又可写成,7-3 拉格郎日方程的第一积分,积分后，得到,上式称为广义能量积分。,考虑到 L=T-V 中，V（q）和诸广义速度无关，因而,又因为约束是定常的，由式（1）可知，Br=0，C=0，于是T1=T0=0，即动能 T 是广义速度的齐二次函数，T=T2。这时，式（3）左边第一项可改写成,（3）,7-3 拉格郎日方程的第一积分,于是式 可写成,因为 T+V=E 就是系统的总机械能，所以上式表示了系统总机械能守恒，即,可见，在定常约束情形下，式（3）退化为式
22、式（4）表示的能量积分。,（4）,7-3 拉格郎日方程的第一积分,如果主动力有势，且拉格朗日函数不显含某个广义坐标qa，则这个坐标称为循环坐标。对于循环坐标qa，有,故相应的拉格朗日方程 写成,7-3 拉格郎日方程的第一积分,二、循环积分,从而得到一个第一积分,称为对应于qa的循环积分。,通常将系统的动能 T 对广义速度 的偏导数称为对应于广义坐标qa的广义动量，用pa表示。因此循环积分表达了广义动量守恒。,7-3 拉格郎日方程的第一积分,例如对重力场中的质点抛射运动，用直角坐标表示，有拉氏函数,可见x，y是循环坐标，故有对应的两个循环积分,分别表示两个水平方向（x，y）的动量守恒。,又如，质点在有心力场中运动，如果采用极坐标，则有拉氏函数,7-3 拉格郎日方程的第一积分,这里是循环坐标，故有对应的循环积分,这就是我们熟悉的动量矩守恒式。以上两例说明，动量和动量矩都是广义动量的特例。但对于一般情况，广义动量守恒不一定具有明显的物理意义。,顺便指出，机械能守恒积分决定于系统的性质，而循环积分则与坐标的选择有关。在实践中这是一个很重要的问题，如果选择恰当，有时可以使每个坐标都成为循环坐标，于是可以求出全部第一积分，这就大大简化了问题的解法。但很遗憾，要做到这一步往往是困难甚至是不可能的。,7-3 拉格郎日方程的第一积分,片尾,谢谢大家,
