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1、第五章 矩阵的特征值与特征向量,在经济理论及其应用中 常要求一个方阵的特征值和特征向量的问题 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题 也都要用到特征值的理论,2,引言,纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)Ax=l x?例：,一 特征值与特征向量定义:,非零列向量X称为A 的对应于特征值的特征向量,定义6设A是n阶矩阵 如果对于数，存在n维非零列向量X,使,AXX 成立,则称为方阵A的一个特征值,第一节 矩阵的特征值与特征向量p11
2、7,AXX,如何求特征值和特征向量?,即,齐次方程有非0解,齐次方程有非0解的充要条件是系数行列式为0,即|I A|0,(2)|I A|0称为方阵A的特征方程,二 特征多项式与特征方程,定义 设A为n阶方阵,(1)f()|I A|称为方阵A的特征多项式,即,即,(3)方阵A的特征值就是特征方程|I A|0的根,所以方阵A的特征值也称为方阵A的特征根,齐次线性方程组,的每一个非零解向量，都是方阵A的对应于特征值的特征向量,所以方阵A对应于每一个不同特征值的特征向量都有无穷多个,三 特征向量,定理1 如果非零向量X为矩阵A对应于特征值的特征向量,则CX(C0为任意常数）也是A对应于特征值的特征向量
3、,定理2 如果X1，X2为矩阵A对应于特征值的特征向量，,且X1+X2 0，则X1+X2也是A对应于特征值的特征向量，,即:矩阵A对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍然为A对应于特征向量(不能为0),综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:,第一步 计算矩阵A特征多项式|I A|;,第二步 求出矩阵A的特征方程|I A|=0的全部根,即求得A的全部特征值1，1，-n，(其中可能有重根）,第三步 对于A的每个特征值i,求出对应的齐次线性方程组（i I A）X=0的一个基础解系.,矩阵A对应于特征值i 的全部特征向量为,例1 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1)A的特征方程为,所以
4、A的特征值为14 2-2,(2)当14时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值14的全体特征向量为,例1 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(3)当2-2时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值2-2的全体特征向量为,例2 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1)A的特征方程为,所以A的特征值为12 24,(2)当12时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值12的全体特征向量为,例2 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(3)当24时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值24的全体特征向量为,例3 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1)A的特征方程为,所以A的特征值为124，32,例3 求矩阵
5、 的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=4 32,(2)当12=4,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值12=4的全体特征向量为,例3 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=4 32,(3)当3=2,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值32的全体特征向量为,例4 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1)A的特征方程为,所以A的特征值为1=2=1 32,例4 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=1 32,(2)当12=1,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值12=1的全体特征向量为,例4 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=1 32,(3)
6、当32,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值3=2的全体特征向量为,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|（利用根与系数的关系可证，证明不要求。但性质本身需牢固掌握）,四 特征值与特征向量的性质,例5 设是方阵A的特征值 证明(1)2是A2的特征值,证明,因为是A的特征值,故有X0,使AXX,于是,(1)A2X,2X,(AX),A(X),A(AX),所以2是A2的特征值,因为X0 知0,有XA1X,由AXX,(2)当A可逆时,(2)当A可逆时,是 的
7、特征值,是 的特征值,例5：设 l 是方阵 A 的特征值，证明(1)l2 是 A2 的特征值；(2)当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然是 p,一般地，令,则,例6：设3 阶方阵 A 的特征值为1,1,2，求A*+3A2E 的特征值解：A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A2E=j(A)其中|A|=1(1)2=2 从而A*+3A2E的特征值分别为,例7 主
8、对角线上的元素为1，2-n的n阶对角矩阵或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角线上的n个元素1，2-n,定理4 n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值,证明,转置矩阵AT的特征多项式为,即方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式,所以方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值,例8 证明:方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为0,证明,必要性,则,如果A为奇异阵,所以A有一个特征值为0,充分性,如果A有一个特征值为0，对应的特征向量为X,则,有非0解,所以|A|=0,定理3 n阶方阵A可逆的充要条件是A的每一个特征值均不为0,p120定理2 设1 2 m(mn)是n阶方阵A的m个互不同
9、特征值X1 X2 Xm分别是A对应于1 2 m的特征向量 则 X1 X2 Xm线性无关,A(k1X1k2X2 ks Xs)0,证明,设有常数k1 k2 ks,1k1X12k2X2 sks Xs0,用数学归纳法,m=1时 X10 显然成立,使 k1X1k2X2 ks Xs0,设 m=s-1时 X1 X2 Xs-1线性无关,现证明 m=s时 X1 X2 Xs线性无关,k1X1k2X2 ks Xs0,sk1 X1s k2X2 s ks Xs0,1k1X12k2X2 sks Xs0,两边同乘s,两式相减,(s-1)k1X1(s-2)k2X2(s-s-1)ks-1 Xs-10,所以 X1 X2 Xs线性
10、无关,由设 m=s-1时 X1 X2 Xs-1线性无关,由数学归纳法知,对任意正整数m,结论成立,p121例10 设1和2是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向量依次 为X1和X2 证明X1 X2不是A的特征向量,用反证法 假设X1X2是A的特征向量 则应存在数 使 A(X1X2)(X1X2)于是,证明,按题设 有AX11X1 AX22X2 故,A(X1X2)1X12X2,即(1)X1(2)X20,(X1X2)AX1AX2 1X12X2,因此X1X2不是A的特征向量,与题设12矛盾,即12,120,故由上式得,因为X1 X2线性无关,定理6 设1 2 m是方阵A的m个互不同特征值,为1的r1个线性无关特征向量,为2的r2个线性无关特征向量,为m的rm个线性无关特征向量,则 向量组,共r1+r2+rm个,线性无关,例3 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1)A的特征方程为,所以A的特征值为124，32,(2)当12=4,其基础解系可取为,(3)当3=2,其基础解系可取为,由定理6可知,X1，X2 X3线性无关,定理7 设是n阶方阵A的一个k重特征值则A对应于的线性无关的特征向量的最大个数为l,则 lk,线性无关特征向量的个数不超过特征值的重数,定理8 设是n阶方阵A的1重特征值则A对应于的线性无关的特征向量有且只有1个,
