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1、一、矩阵的行秩、列秩、秩,二、矩阵的秩的有关结论,3.4 矩阵的秩,三、矩阵秩的计算,一、矩阵的行秩、列秩、秩,定义,的秩称为矩阵 A 的行秩；,则矩阵 A 的行向量组,的秩称为矩阵 A 的列秩.,矩阵 A 的列向量组,设,引理 如果齐次线性方程组,（1）,的系数矩阵,的行秩，那么它有非零解,（若(1)只有零解，则）,证：,的秩为r，,设矩阵 A 的行向量组,且不妨设为其一个极大无关组.,于是方程组(1)与方程组(1)是同解的.,由于向量组与向量组等价，,（1）,所以(1)有非零解，从而(1)有非零解.,在(1)中,定理4 矩阵的行秩矩阵的列秩,证明：设，A的行秩r，A的列秩r1，,下证,先证
2、,则向量组 的秩为r，,不妨设 是它的一个极大无关组，,于是 线性无关，,设A的行向量组为,只有零解.,由引理，方程组（2）的系数矩阵,（未知量的个数）.,的行秩,是r个线性无关的行向量，,中一定可以找到 r 个线性无关的向量.,从而在矩阵 的行向量组,不妨设,则该向量组的延伸组,于是矩阵A的列秩,同理可证.,所以,也线性无关,矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，,记作秩A 或、,定义,注,设，则,若则称A为行満秩的；,若则称A为列満秩的.,若，则,二、矩阵秩的有关结论,1.定理5 设，则,(降秩矩阵),(满秩矩阵),证：,若 n 1，则A只有一个一维行向量0，,的 n 个行向量线性相关.,
3、从而A0，,若 n 1，则A的行向量中至少有一个能由其余,行向量线性表出，,依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0.,从而在行列式 中，用这一行,若 n 1，由知，,对 n 作数学归纳法.,A0，,从而,假若对 n1 级矩阵结论成立，下证 n 级的情形.,设，,为A的行向量.,考察A的第一列元素:,若它们全为零，则,若它们有一个元素不为零，,不妨设,则 的第2至 n 行减去第1行的适当倍数后可为,其中,由知，,由归纳假设，矩阵的秩n1，,从而向量组,线性相关，,故在不全为零的数使,改写一下，有,线性相关,不全为零的n个数,推论1,齐次线性方程组,有非零解 系数矩阵 的行列式=0,只有零解
4、,n 个 n 维向量,推论2,定义,2.k 级子式,在一个 sn 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列,个元素按原来次序所组成的 k 级行列式，称为矩阵,位于这些行和列的交点上的,A的一个k级子式,注,矩阵 A 的 k 级子式共有个.,有一个 级子式不为0.,定理6 矩阵 的秩为 的充要条件是中有一,注,的所有 级子式等于0；,若则 的不为0的级子式所在行(列),就是A行(列)向量组的一个极大无关组.,则A的任意个行向量,由定理5的推论2，,证：,设,都线性相关，,从而A的任意级子式的行向量也,线性相关.,A的级子式全为0.,下证A至少有一个级子式不为0.,设,因为,所以A有个行向量线性无关，,不妨设A的前个行向量线性无关，,作矩阵,则行列式,显然 的行秩为，,从而 的列秩也为，,不妨设在 中前列线性无关，,此即 A 的一个 级非零子式.,若 A 的所有 级子式全为 0，,所有级数大于的子式全为 0.,则 A 的,设,由必要性,不可能有,否则A的 级子式全为0.,同样,不可能有,否则A有 级子式不为0.,三、矩阵秩的计算,方法一按定义求出A的行(列)向量组的秩.,级数.,方法二利用定理6，等于 中非零子式的最大,例1求下列矩阵的秩,方法三用初等变换化 A 为阶梯阵 J，等于,中非零行的行数.,原理：,初等变换不改变矩阵的秩；,阶梯阵的秩等于其中非零行的行数,例2求矩阵A的秩,
