第三章随机信号的功率谱估计.ppt

上传人:sccc 文档编号:5293456 上传时间:2023-06-23 格式:PPT 页数:38 大小:609.53KB
返回 下载 相关 举报
第三章随机信号的功率谱估计.ppt_第1页
第1页 / 共38页
第三章随机信号的功率谱估计.ppt_第2页
第2页 / 共38页
第三章随机信号的功率谱估计.ppt_第3页
第3页 / 共38页
第三章随机信号的功率谱估计.ppt_第4页
第4页 / 共38页
第三章随机信号的功率谱估计.ppt_第5页
第5页 / 共38页
点击查看更多>>
资源描述

《第三章随机信号的功率谱估计.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第三章随机信号的功率谱估计.ppt(38页珍藏版)》请在三一办公上搜索。

1、1,第三章 随机信号的功率谱估计,郑宝玉,2,内 容,随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计,3,最大熵谱估计算法,Levinson算法 Berg算法,4,Levinson算法,MEM的核心是求解如下方程:,这个方程实际上是联合AR模型法和预测滤波法得出的。我们发现,方程(1)有如下特点:系数矩阵是一个Toplitz矩阵,利用Toplitz矩阵的性质 可简化方程求解。实际问题中,一般只知道信号的某些观测值,而不知道 其AR模型阶数,该阶数也需要在方程求解过程中找到。下面介绍两种算法。

2、,引言,5,Levinson算法,原理 假设已得到k阶线性预测系数(预测滤波参数),我们来考虑求k1阶滤波参数。k阶滤波参数的矩阵方程为,由于系数矩阵的Toplitz性质,上式又有如下形式,6,Levinson算法,现考虑模型阶数增加1,即从k变为k+1的情况。对于k+1模型,有,由于系数矩阵的Toplitz性质,k+1阶系数矩阵 可有两种分块形式。,7,Levinson算法,利用这个性质,可设,式中,8,Levinson算法,比较(3)和(4),可知,当,(3)与(4)等效;且有下列两个递推关系式:,即当下式成立时,和,由(8)末式还可得:,(5)(10)构成Levinson算法基础。,9,

3、Levinson算法,现用i表示递推过程的阶数,令i=k+1,并设信号模型的最大阶数为N,则有如下Levinson算法:1)由(3)式,令i=k+10,得 2)置i=k+11;3)由(8)、(10)式计算 4)由(7)、(10)式计算 5)由(6)、(7)和(10)式计算 6)置i=i+1;7)判别:若 转3);否则,结束程序。,算法,10,Levinson算法,讨论,Levinson算法第4步利用了一个重要递推关系(12),通常称为Levinson关系式递推过程产生一个滤波参数序列 通常称为偏相关系数递推过程产生的 可用来监视i阶信号模型的均方 误差估值。递推结果的最终解为 和,递推过程及结

4、果,11,Levinson算法,讨论,优点:计算简单 缺点:需根据有限观测数据估计自相关序列r(n)短数据序列时,自相关估计值误差很大,引起预测 滤波参数误差,导致“谱峰飘移”和“谱线分裂”(即出 现虚假谱线)长数据序列时,自相关估计值虽精确,但计算量大。,优缺点,12,Berg算法,前向预测与后向预测 考虑信号序列值:,前向预测,后向预测,前向预测误差:,后向预测误差:,其中 分别为p阶前、后向预测系数。,13,Berg算法,Berg算法原理,根据前面的基本概念,可知m阶前向预测误差为,类似地,m阶后向预测误差为,再利用Levinson关系式:,有,其中,14,Berg算法,Berg算法原理

5、(续),定义m阶前、后向预测误差的功率为,将(16)代入(17),并令Pm对 的偏导数为零,得最佳,15,Berg算法,Berg算法,设已知有限数据序列x(n),n=0,1,N,则可按下列步骤计算预测滤波器系数,并在此基础上计算功率谱。1.置m=0,计算初值,2.m=m+1,并按(19)计算反射系数,3.计算滤波器系数:,4.计算预测误差功率Pm:,5.按(16)式计算滤波器输出,6.置m=m+1,并重复步骤(2)-(5),直到m=p。,16,Berg算法,Berg算法(续),最后,由Berg算法估计的滤波器系数,计算功率谱密度:,17,内 容,随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型

6、法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计,18,最小方差谱估计,基本原理 MV谱与ME谱或AR谱的关系,19,最小方差谱估计,MVSE基本原理,三点说明 最小方差功率谱估计(MVSE),又称最大似然谱估 计,但实际上它并不是最大似然谱估计;提出者Capon,1969也把这个方法叫做高分辨率谱估 计方法,但实际上其分辨率并不高于AR模型法;尽管这样,但由于其思路独特,仍有了解的必要。下面,讨论该方法的导出过程。,20,最小方差谱估计,MVSE基本原理,算法推导 将随机信号x(n)通过FIR滤波器A(z):,则其输出为,其中,y(n)的

7、均方值,也就是y(n)的功率,由下式给出:,式中 为r(0),r(1),r(p)构成的Toeplitz矩阵。若y(n)的均值为零,则 也是y(n)的方差。,21,最小方差谱估计,MVSE基本原理,算法推导(续)求滤波器的系数,有两个原则:,在某一给定频率 处,x(n)无失真通过,这等效于要求:,式中,在 附近的频率分量被拒绝,即在 附近使 为最小。为同时满足这两个原则,必须满足下式:,这就是“最小方差”谱估计的来历。,22,最小方差谱估计,MVSE基本原理,算法推导(续)利用Lagrange乘子法求解(5)式,得最小方差滤波器系数为,相应的最小方差为,从而,估计的最小方差谱为,应该注意,并不是

8、真正意义上的功率谱,因为 对 的积分并不等于信号的功率,但它描述了真正谱的相对强度。,23,最小方差谱估计,MV谱与AR谱的关系,对自相关矩阵的逆矩阵 作Cholesky分解,有,其中 分别是0阶p阶AR模型系数和激励功率(即方差)组成的矩阵,即,24,最小方差谱估计,MV谱与AR谱的关系(续),将(8)代入(7),得,于是,我们得到MV谱与AR谱之间的一个重要关系:,其中,25,内 容,随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计,26,基于矩阵特征分解的谱估计,自相关矩阵的特征分解 基

9、于子空间的频率估计与信号估计,27,自相关矩阵的特征分解,基本原理,设信号x(n)由M个复正弦加白噪声组成,分别是第 i 个复正弦的功率和频率,则x(n)的自相关函数为,式中正弦信号的幅度为 为白噪声的功率。,如果由(p+1)个rxx(n)组成自相关矩阵:,28,自相关矩阵的特征分解,基本原理(续),且定义信号向量:,则由(1)-(3),有,式中第一、二项分别为信号阵和噪声阵,前者最大秩为M.设,对Rp进行特征分解得:,式中Vi 是对应于特征值 的特征向量,特征向量相互正交,即,29,自相关矩阵的特征分解,基本结论,从上面讨论可以看出:Rp的所有特征向量V1,Vp+1形成p+1维向量空间(信息

10、空间),且V1,Vp+1相互正交。利用相关矩阵的特征值,可将信息空间分成两个子空间:由主特征向量 V1,VM 张成信号子空间(主分量)其特征值分别为 由特征向量 VM+1,Vp+1 张成噪声子空间 其特征值均为 信号向量e1,eM和主特征向量V1,VM张成相同的子空间 信号子空间。结论:可在信号子空间或噪声子空间进行谱估计和频率估计 应用:借助噪声子空间噪声特性,从信号子空间估计有用信号 下面考虑pM和pM两种情况下基于噪声子空间的估计问题,30,基于矩阵特征分解的谱估计,自相关矩阵的特征分解 基于子空间的频率估计与信号估计,PHD方法MUSIC方法,31,理论基础 若p=M,则(5)式中Rp

11、仅有一个噪声向量VM+1,它所 对应的 特征值就是噪声方差,该特征值也是Rp的最小特征 值(因为此时)。可以证明,这时有,定理 1 噪声向量VM 与信号向量ei(i1,M)都正交,即,令,则根据定理1有,其中,Pisarenko谐波分解(PHD),32,Pisarenko谐波分解(PHD),PHD算法的步骤,1)求x(n)的自相关函数并构成自相关矩阵Rp,且设 p=M2)对Rp进行特征分解,得特征值 及特征向量 将其排序并找出最小的特征值 及相应的3)将 代入(7),形成 M 阶多项式并求该多项式的根,得到x(n)的M 个频率4)由(1)有,5)再由(1)得:故可求得,33,MUSIC方法,理

12、论基础 若噪声子空间的向量不止一个,用类似的方法可以证明有,定理2 信号向量ei与噪声子空间的向量Vk都正交,即,由于自相关矩阵Rp的特征向量 构成一组正交基,因此有,注意:(11)对应于Mp的情况,在这种情况下,若再使用(8),则求出的V(z)将有p-M个多余零点。故不宜再使用(8)计算。,34,MUSIC方法,MUSIC算法,基本思路 由于信号向量与噪声子空间的各个向量都正交,因此 信号向量与噪声空间各向量的线性组合也 正交,故有,且上式在 处应为零。从而有,该峰值对应的就是正弦信号的频率,分辨率优于AR模型法。,35,空间谱估计问题,阵列信号处理问题,阵列:多个天线(传感器)的组合 阵元每个天线(传感器)假设:1)信源:点信源。即窄带信号 2)远场:波前(阵列)平面波,36,由capon提出,称为最小方差无畸变(MVDR:minimum variance distortionless response)波束形成器,空间谱估计问题,37,最优波束形成器,DOA 估计:波束形成器,设计一个滤波器 抽头(权系数),空间谱估计问题,38,MUSIC空间谱:,波束形成器:,空间谱估计问题,

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索
资源标签

当前位置:首页 > 建筑/施工/环境 > 农业报告


备案号:宁ICP备20000045号-2

经营许可证:宁B2-20210002

宁公网安备 64010402000987号