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1、1,第三章 随机信号的功率谱估计,郑宝玉,2,内 容,随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计,3,最大熵谱估计算法,Levinson算法 Berg算法,4,Levinson算法,MEM的核心是求解如下方程：,这个方程实际上是联合AR模型法和预测滤波法得出的。我们发现，方程(1)有如下特点：系数矩阵是一个Toplitz矩阵，利用Toplitz矩阵的性质 可简化方程求解。实际问题中，一般只知道信号的某些观测值，而不知道 其AR模型阶数，该阶数也需要在方程求解过程中找到。下面介绍两种算法。
2、,引言,5,Levinson算法,原理 假设已得到k阶线性预测系数(预测滤波参数)，我们来考虑求k1阶滤波参数。k阶滤波参数的矩阵方程为,由于系数矩阵的Toplitz性质，上式又有如下形式,6,Levinson算法,现考虑模型阶数增加1,即从k变为k+1的情况。对于k+1模型,有,由于系数矩阵的Toplitz性质，k+1阶系数矩阵 可有两种分块形式。,7,Levinson算法,利用这个性质，可设,式中,8,Levinson算法,比较(3)和(4)，可知，当,(3)与(4)等效；且有下列两个递推关系式：,即当下式成立时,和,由(8)末式还可得：,(5)(10)构成Levinson算法基础。,9,
3、Levinson算法,现用i表示递推过程的阶数，令i=k+1,并设信号模型的最大阶数为N，则有如下Levinson算法:1)由(3)式，令i=k+10，得 2)置i=k+11;3)由(8)、(10)式计算 4)由(7)、(10)式计算 5)由(6)、(7)和(10)式计算 6)置i=i+1;7)判别：若 转3)；否则，结束程序。,算法,10,Levinson算法,讨论,Levinson算法第4步利用了一个重要递推关系(12)，通常称为Levinson关系式递推过程产生一个滤波参数序列 通常称为偏相关系数递推过程产生的 可用来监视i阶信号模型的均方 误差估值。递推结果的最终解为 和,递推过程及结
4、果,11,Levinson算法,讨论,优点：计算简单 缺点：需根据有限观测数据估计自相关序列r(n)短数据序列时，自相关估计值误差很大，引起预测 滤波参数误差，导致“谱峰飘移”和“谱线分裂”(即出 现虚假谱线)长数据序列时，自相关估计值虽精确，但计算量大。,优缺点,12,Berg算法,前向预测与后向预测 考虑信号序列值：,前向预测,后向预测,前向预测误差：,后向预测误差：,其中 分别为p阶前、后向预测系数。,13,Berg算法,Berg算法原理,根据前面的基本概念，可知m阶前向预测误差为,类似地，m阶后向预测误差为,再利用Levinson关系式：,有,其中,14,Berg算法,Berg算法原理
5、（续）,定义m阶前、后向预测误差的功率为,将(16)代入(17)，并令Pm对 的偏导数为零,得最佳,15,Berg算法,Berg算法,设已知有限数据序列x(n),n=0,1,N，则可按下列步骤计算预测滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。1.置m=0,计算初值,2.m=m+1,并按(19)计算反射系数,3.计算滤波器系数：,4.计算预测误差功率Pm：,5.按(16)式计算滤波器输出,6.置m=m+1,并重复步骤(2)-(5),直到m=p。,16,Berg算法,Berg算法（续）,最后，由Berg算法估计的滤波器系数,计算功率谱密度：,17,内 容,随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型
6、法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计,18,最小方差谱估计,基本原理 MV谱与ME谱或AR谱的关系,19,最小方差谱估计,MVSE基本原理,三点说明 最小方差功率谱估计(MVSE)，又称最大似然谱估 计，但实际上它并不是最大似然谱估计；提出者Capon,1969也把这个方法叫做高分辨率谱估 计方法，但实际上其分辨率并不高于AR模型法；尽管这样，但由于其思路独特，仍有了解的必要。下面，讨论该方法的导出过程。,20,最小方差谱估计,MVSE基本原理,算法推导 将随机信号x(n)通过FIR滤波器A(z):,则其输出为,其中,y(n)的
7、均方值，也就是y(n)的功率，由下式给出：,式中 为r(0),r(1),r(p)构成的Toeplitz矩阵。若y(n)的均值为零，则 也是y(n)的方差。,21,最小方差谱估计,MVSE基本原理,算法推导（续）求滤波器的系数，有两个原则：,在某一给定频率 处,x(n)无失真通过,这等效于要求：,式中,在 附近的频率分量被拒绝,即在 附近使 为最小。为同时满足这两个原则，必须满足下式：,这就是“最小方差”谱估计的来历。,22,最小方差谱估计,MVSE基本原理,算法推导（续）利用Lagrange乘子法求解(5)式,得最小方差滤波器系数为,相应的最小方差为,从而，估计的最小方差谱为,应该注意，并不是
8、真正意义上的功率谱，因为 对 的积分并不等于信号的功率，但它描述了真正谱的相对强度。,23,最小方差谱估计,MV谱与AR谱的关系,对自相关矩阵的逆矩阵 作Cholesky分解，有,其中 分别是0阶p阶AR模型系数和激励功率(即方差)组成的矩阵，即,24,最小方差谱估计,MV谱与AR谱的关系（续）,将(8)代入(7)，得,于是，我们得到MV谱与AR谱之间的一个重要关系：,其中,25,内 容,随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计,26,基于矩阵特征分解的谱估计,自相关矩阵的特征分解 基
9、于子空间的频率估计与信号估计,27,自相关矩阵的特征分解,基本原理,设信号x(n)由M个复正弦加白噪声组成,分别是第 i 个复正弦的功率和频率,则x(n)的自相关函数为,式中正弦信号的幅度为 为白噪声的功率。,如果由(p+1)个rxx(n)组成自相关矩阵：,28,自相关矩阵的特征分解,基本原理（续）,且定义信号向量：,则由(1)-(3),有,式中第一、二项分别为信号阵和噪声阵,前者最大秩为M.设，对Rp进行特征分解得：,式中Vi 是对应于特征值 的特征向量,特征向量相互正交，即,29,自相关矩阵的特征分解,基本结论,从上面讨论可以看出：Rp的所有特征向量V1,Vp+1形成p+1维向量空间(信息
10、空间),且V1,Vp+1相互正交。利用相关矩阵的特征值，可将信息空间分成两个子空间：由主特征向量 V1,VM 张成信号子空间(主分量)其特征值分别为 由特征向量 VM+1,Vp+1 张成噪声子空间 其特征值均为 信号向量e1,eM和主特征向量V1,VM张成相同的子空间 信号子空间。结论:可在信号子空间或噪声子空间进行谱估计和频率估计 应用:借助噪声子空间噪声特性,从信号子空间估计有用信号 下面考虑pM和pM两种情况下基于噪声子空间的估计问题,30,基于矩阵特征分解的谱估计,自相关矩阵的特征分解 基于子空间的频率估计与信号估计,PHD方法MUSIC方法,31,理论基础 若p=M,则(5)式中Rp
11、仅有一个噪声向量VM+1,它所 对应的 特征值就是噪声方差，该特征值也是Rp的最小特征 值（因为此时）。可以证明，这时有,定理 1 噪声向量VM 与信号向量ei(i1,M)都正交,即,令,则根据定理1有,其中,Pisarenko谐波分解(PHD),32,Pisarenko谐波分解(PHD),PHD算法的步骤,1)求x(n)的自相关函数并构成自相关矩阵Rp,且设 p=M2)对Rp进行特征分解,得特征值 及特征向量 将其排序并找出最小的特征值 及相应的3)将 代入(7)，形成 M 阶多项式并求该多项式的根，得到x(n)的M 个频率4)由(1)有,5)再由(1)得：故可求得,33,MUSIC方法,理
12、论基础 若噪声子空间的向量不止一个，用类似的方法可以证明有,定理2 信号向量ei与噪声子空间的向量Vk都正交，即,由于自相关矩阵Rp的特征向量 构成一组正交基，因此有,注意:(11)对应于Mp的情况，在这种情况下，若再使用(8),则求出的V(z)将有p-M个多余零点。故不宜再使用(8)计算。,34,MUSIC方法,MUSIC算法,基本思路 由于信号向量与噪声子空间的各个向量都正交,因此 信号向量与噪声空间各向量的线性组合也 正交,故有,且上式在 处应为零。从而有,该峰值对应的就是正弦信号的频率，分辨率优于AR模型法。,35,空间谱估计问题,阵列信号处理问题,阵列：多个天线（传感器）的组合 阵元每个天线（传感器）假设：1）信源：点信源。即窄带信号 2）远场：波前(阵列)平面波,36,由capon提出，称为最小方差无畸变(MVDR:minimum variance distortionless response)波束形成器,空间谱估计问题,37,最优波束形成器,DOA 估计：波束形成器,设计一个滤波器 抽头（权系数）,空间谱估计问题,38,MUSIC空间谱：,波束形成器：,空间谱估计问题,
