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1、单自由度体系建立振动方程,重 点：建立方程难 点：达朗贝原理建立方程 柔度系数、刚度系数,单自由度体系的自由振动,自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。,自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。,研究单自由度体系的自由振动重要性在于：,1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。,2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。,自由振动反映了体系的固有动力特性。,应用条件：微幅振动（线性微分方程）,1.阻尼力,称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反,一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括:材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失周围介质对结构的阻尼（如，空气的阻
2、力）节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力通过基础散失的能量,振动方程的建立：考虑图示单质点的振动过程。杆件的刚度为EI，质点的质量为m,时刻 t 质点的位移y(t),阻尼器简介,应用实例,构造说明,2.弹性恢复力,FE=-K y(t)，K为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反,3惯性力,FI=，为质点运动加速度，惯性力与运动方向相反,4动力荷载,P(t)，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同,5振动方程的建立,FD+FE+FI+P(t)=0,例题1:,已知，阻尼系数为C,试建立体系的运动微分方程,解：1）动力自由度为1，设E处的竖向位移是y(t),2)考虑EFG部分的受力,由MG=0 得：,
3、3）考虑ABDE部分的受力,由MA=0 得,由以上两式消去R后整理得,m,yj,yd,质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd,k,力学模型,yd,m,m,W,I(t),重力：W,弹性力：,恒与位移反向,惯性力：,(a),其中 kyj=W 及,上式可以简化为,或,注意：振动方程中的 仅仅是动力作用下产生的，不包括静位移。可认为 是从静平衡位置算起的。以后，我们也只计算动位移,例题2 试建立图示结构的振动方程，质点的质量m,EI=常数,原理：任意时刻受力平衡,练习题1,解:振动模态,解:振动模态,建立振动方程，阻尼器的阻尼系数为C,练习题2,例题3试建立图示结构的振动方程，质点的质量都是m,
4、EI=常数,质点受力：1.惯性力，2.刚架的弹性恢复力，3.动荷载。,1.惯性力,负号表示方向向左,建立方程的依据：质点在任意时刻受力平衡,2.刚架的弹性恢复力,意义：质点单位侧移需施加的力-侧移刚度K,要求K,就要取水平力的平衡,因而，就要确定2个柱的剪力，这就要作出结构在侧移为1 时的弯矩图。,支座水平移动单位位移下引起的柱间剪力=K/2,即，“支座移动”结构内力的计算问题,位移法方程：r11+R=0，解得,柔度法求 K,求刚架在P=1下产生的位移，再取倒数,3.振动方程,解：一、用柔度法,依据：质点位移 y(t)，由质点惯性力与动力荷载共同产生。,1.求惯性力为1时质点的位移1,求位移的
5、方法：用位移法求位移用变形体系虚功原理,用位移法求位移,R1P=0,R2P=-1,r11=10 i,r21=r12=3i/L r22=18i/L2,解位移法方程得：1=10L3/171EI,2.求动力荷载为1时在质点处产生的位移2,用位移法,解位移法方程得：2=37L3/1368EI,3.质点惯性力与动力荷载共同产生的位移 y(t)为：,二、用刚度法,建立方程的依据：时刻t 结构体系受力平衡,注意：动荷载不作用在质点上，怎么考虑受力平衡？,方法一、,R1P=-PLsint/8,R2P=-Psint/2,r11=10 i,r21=r12=3i/Lr22=18i/L2,R1P=-PLsint/8,R2P=-Psint/2+my/,r11=10 i,r21=r12=3i/L，r22=18i/L2,消去附加约束，再考虑惯性力。当结点转角为，水平位移为y（t）时,单自由度振动模型,小结：,练习题3,振动方程：,共同形式的振动方程：,杆长都是L,令 解出K1,
