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1、第6章 虚功原理和结构的位移计算Displacement of Statically Determinate Structures,4.1 结构位移计算概述,一、结构的位移(Displacement of Structures),4.1 结构位移计算概述,一、结构的位移(Displacement of Structures),A点水平位移,A截面转角,B点水平位移,B截面转角,相对线位移,相对角位移,4.1 结构位移计算概述,一、结构的位移(Displacement of Structures),引起结构位移的原因,还有什么原因会使结构产生位移?,为什么要计算位移?,铁路工程技术规范规定:,二
2、、计算位移的目的,(1)刚度要求,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。最大层间位移 1/800 层高。,(2)超静定、动力和稳定计算,(3）施工要求,（3）理想联结(Ideal Constraint)。,三、本章位移计算的假定,叠加原理适用（principle of superposition),(1)线弹性(Linear Elastic),(2)小变形(Small Deformation),四、计算方法,单位荷载法(Dummy-Unit Load Method),4.
3、2 变形体虚功原理(Principle of Virtual Work),二、广义力(Generalized force)、广义位移(Generalized displacement),一个力系作的总虚功 W=P,P-广义力;-广义位移,例:1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力,（1）刚体系的虚位移(功)原理,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。,应用虚力原理求刚体体系的位
4、移,6.静定结构支座移动时的位移计算,刚体虚功方程为:,W=0,0=1kC+R1 C1+R2 C2+R3 C3,计算公式为:,例1：求,解：构造虚设力状态,解：构造虚设力状态,6.结构位移计算的一般公式,1 局部变形时静定结构的位移计算,同,B,已知K点发生转角，求B端位移,K,B,已知K点发生剪切位移，求B端位移,K,-适用于各种杆件体系(线性,非线性).,对于由线弹性直杆组成的结构，有：,适用于线弹性直杆体系,单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)它是 Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method,四、位移计算一般公式
5、,3.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,1.梁与刚架,二.位移计算公式,2.桁架,3.组合结构,4.拱,这些公式的适用条件是什么?,解：,例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.,NP,Ni,练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.,NP,Ni,例 1：已知图示粱的E、G,求A点的竖向位移。,解：构造虚设单位力状态.,对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.,位移方向是如何确定的?,例.试求图示结构B点竖向位移.,解:,MP,Mi,例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知),解：构造虚设的力状态如图示,小曲率杆可利用直杆公式近似计算;轴向变形,剪
6、切变形对位移的影响可略去不计,例:1)求A点水平位移,3.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,二.位移计算公式,所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.,三.单位力状态的确定,2)求A截面转角,3)求AB两点相对水平位移,4)求AB两截面相对转角,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,在杆件数量多的情况下,不方便.下面介绍计算位移的图乘法.,3.4 图乘法及其应用(Graphic Multiplication Method and its Applications)
7、,刚架与梁的位移计算公式为：,一、图乘法,(对于等截面杆),(对于直杆),图乘法求位移公式为:,图乘法的适用条件是什么?,图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。,例.试求图示梁B端转角.,解:,MP,Mi,为什么弯矩图在杆件同侧图乘结果为正?,例.试求图示结构B点竖向位移.,解:,MP,Mi,二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法,二次抛物线,图,图,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,三、图形分解,MP,Mi,Mi,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图形分解,求,MP,Mi,当两个图形均为直线图形时,取那个图形的面积均可.,三
8、、图形分解,求,Mi,取 yc的图形必须是直线,不能是曲线或折线.,能用 Mi图面积乘MP图竖标吗?,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图乘法小结,1.图乘法的应用条件：,（1）等截面直杆，EI为常数；,（2）两个M图中应有一个是直线；,（3）应取自直线图中。,2.若 与 在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。,3.如图形较复杂，可分解为简单图形.,例 1.已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移。,三、应用举例,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例 2.已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角。,三、应用举例,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,图示结构
9、 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位移,(2)相对水平位移,(3)相对转角。,MP,练习,对称弯矩图,反对称弯矩图,对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零.,作变形草图,绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：,求B点水平位移。,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,注意:各杆刚度可能不同,练习 已知 EI 为常数，求A点水平位移。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求B点竖向位移,EI=常数。,例 已知：E、I、A为常数，求。,解：作荷载内力图和单位荷载内力图,4.5 静定结构温度变化时的位移计算(Analys
10、is of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes),4.5 静定结构温度变化时的位移计算,温度作用求K点竖向位移.,Wi=Nit+Qit+Mikt ds,关键是计算微段的温度变形,设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度，上、下边缘的温差,线膨胀系数为.,微段的温度变形分析,无剪应变,若,温度引起的位移计算公式:,对等 截 面 直 杆:,上式中的正、负号：,若 和 使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。,例：刚架施工时温度为20，试求冬季外侧温度为-10，内侧温度为
11、 0 时A点的竖向位移。已知 l=4 m,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m,解：构造虚拟状态,例：求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.,解：构造虚拟状态,Ni,4.6 静定结构支座移动时的位移计算(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement),6.静定结构支座移动时的位移计算,变形体虚功方程为:,We=Wi,We=1kC+R1 C1+R2 C2+R3 C3,Wi=0,其中:,计算公式为:,例1：求,解：构造虚设力状态,解：构造虚设力状态,制造误差
12、引起的位移计算,每个上弦杆加长8mm,求由此引起的A点竖向位移.,原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立,We=Wi,变形体的虚功原理,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚功原理的证明:,1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW=dWe+dWn,所有微段的外力功之和:W=dWe+dWn=dW
13、e=We,2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW=dWg+dWi,所有微段的外力功之和:W=dWi=Wi,故有We=Wi成立。,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚功原理的证明:,1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW=dWe+dWn,所有微段的外力功之和:W=dWe+dWn=dWe=We,2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW=dWg+dWi,所有微段的外力功之和:W=d
14、Wi=Wi,故有We=Wi成立。,几个问题:,1.虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。,2.原理的证明表明:原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。,3.原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。,Wi 的计算:,Wi=N+Q+Mds,微段外力:,微段变形可看成由如下几部分组成:,（4）变形体虚功方程的展开式,对于直杆体系，变形互不耦连，略去高阶微量，有:,We=N+Q+Mds,4.7 线弹性结
15、构的互等定理（Reciprocal Theory in Linear Structures),线弹性结构的互等定理,1.功的互等定理:,方法一,先加广义力P1后再加广义力P2,先加广义力P2后再加广义力P1,由W1=W 2,2.位移互等定理:,单位广义力1引起，单位广义力2作用处沿广义力2方向的位移，恒等于单位广义力2引起，单位广义力1作用处沿广义力1方向的位移。-位移互等定理,单位广义力是量纲为一的量；,互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。,如图示长 l，EI 为常数的简支梁,数值、量纲都相等,3.反力互等定理:,由功的互等定理有：,支座 1 发生单位广义位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的支座1中的反力。-反力互等定理,4.反力位移互等定理:,单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。-反力位移互等定理,
